4.5.2萊斯利（leslie）種群模型

1、1,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用.§4.5和§4.6兩節(jié)就來介紹這方面的知識(shí). 本節(jié)先來介紹下面的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型.,[經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型],經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個(gè)突出問題.為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型

2、：,4.5.1 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型,2,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,,令,,則上述關(guān)系的矩陣形式為,,此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系.,3,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,如,則由上式得,,由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.,,,,,4,§4.5 應(yīng) 用（一）,—

3、————————————————————,令,則上述關(guān)系的矩陣形式為,由此，有,5,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.下面作進(jìn)一步地討論：,由矩陣A 的特征多項(xiàng)式,,,得A 的特征值為,,,,,,,,6,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,,,下面分三種情況分析：,Case 1,,由(*)及特征值與

4、特征向量的性質(zhì)知，,7,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,即,或,此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 的前提下，t 年后，當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時(shí)，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢(shì).,,,8,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,,,,,,,,,,,由（*）及特征值與特征向量的性質(zhì),9,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————

5、————————————,,即,,,,,由此可預(yù)測(cè)該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.,10,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應(yīng)用.,因無實(shí)際意義而在Case 2中未作討論，但在Case3的討論中仍起到了重要作用.,,11,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————

6、,萊斯利種群模型研究動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關(guān)系.,設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為L(單位：年），將區(qū)間[0,L]作n等分得n個(gè)年齡組,,,,4.5.2萊斯利（Leslie）種群模型,每個(gè)年齡組的長度為,12,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,的生育率（即每一雌性動(dòng)物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為ai，存活率（即第i個(gè)年齡組中可存活到第i+1個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)

7、目與第i 個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的總數(shù)之比）為bi .,,,,,,,,,令,設(shè)第i個(gè)年齡組,13,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,即為初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量.,,取,設(shè)在時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目為,,,,令,,14,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,則X(k)即為時(shí)刻tk該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量.

8、顯然，隨著時(shí)間的變化，該動(dòng)物種群的各年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目會(huì)發(fā)生變化.,,,,易知，時(shí)刻tk該動(dòng)物種群的第一個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于在時(shí)段[tk-1,tk]內(nèi)各年齡組中雌性動(dòng)物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即,,,（2.1）,又tk時(shí)刻該動(dòng)物種群的第i+1個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的數(shù)目等于tk-1 時(shí)刻第i個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物的存活量，即,,,,,,（2.2）,15,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————

9、,聯(lián)立（2.1）和（2.2）得,（2.3）,即,,（2.4）,16,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,令萊斯利矩陣,,則（2.4）即為,,（2.5）,,于是,17,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,（2.6）,由此，若已知初始時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(0)，則可計(jì)算出tk時(shí)刻該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布向量X(k)，從而對(duì)該動(dòng)物種

10、群中雌性動(dòng)物的數(shù)量作出科學(xué)的預(yù)測(cè)和分析.,18,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,例 設(shè)某動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動(dòng)物分為3個(gè)年齡組[0,5],[5,10],[10,15].由統(tǒng)計(jì)資料知，3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的生育率分別為0，4，3，存活率分別為0.5，0.25，0，初始時(shí)刻3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物的數(shù)目分別為500，1000，500.試?yán)萌R斯利種群模型對(duì)該

11、動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律進(jìn)行分析.,解：,,,,,,19,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,由（2.6）得,,,……,,20,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,下面求,由矩陣L的特征多項(xiàng)式,,,得L的特征值為,,由Th4.9推論知，矩陣L可相似對(duì)角化.,,,,,21,§4.5 應(yīng) 用（一）,———————————————

12、——————,,,,22,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,,,.,23,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,令矩陣,,則P可逆，且,,,24,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,于是,,從而,25,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,26,§4.5 應(yīng)

13、用（一）,—————————————————————,,27,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,28,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,29,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,兩邊取極限得,30,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,31,§4.5 應(yīng)

14、 用（一）,—————————————————————,,32,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,,,33,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,于是，當(dāng)k充分大時(shí)，,,,.,34,§4.5 應(yīng) 用（一）,—————————————————————,由此式知，在初始狀態(tài)下，經(jīng)過充分長的時(shí)間后，該動(dòng)物種群中雌性動(dòng)物的年齡分布將趨于穩(wěn)定，即3個(gè)年齡