單種群模型的分支問題.pdf

1、微分方程所描述的種群模型廣泛地來源于人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)和傳染病學(xué)等學(xué)科。通過研究分支問題來分析它們的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)是微分方程和生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的課題。分支問題的研究對(duì)象是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，即當(dāng)參數(shù)變化并經(jīng)過某些臨界值時(shí)，方程解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生“突變”。對(duì)種群模型的分支問題的研究可以幫助了解某些參數(shù)（如生物的生存空間和成熟期等）對(duì)種群動(dòng)力學(xué)的影響（如以平衡的狀態(tài)生存或產(chǎn)生突然的振蕩），進(jìn)而可以使得物種朝著人類所期望的方向演化。同時(shí)，通過

2、對(duì)具體的種群模型的研究往往能發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象，甚至可能推動(dòng)微分方程理論的發(fā)展。本文研究具齊次-Dirichlet邊界條件的時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散種群模型和具非線性邊界條件的一階偏微分種群模型的分支問題。
　　首先，研究了一個(gè)具擴(kuò)散和齊次-Dirichlet邊界條件的時(shí)滯果蠅模型。使用平面動(dòng)力系統(tǒng)軌道分析的方法證明了具零-Dirichlet邊界條件的模型的穩(wěn)態(tài)分支的存在性和一個(gè)特殊的正-Dirichlet邊界條件下的模型正解的存在唯一性；并

3、且發(fā)現(xiàn)了在正-Dirichlet邊界條件下擴(kuò)散會(huì)使模型變得更穩(wěn)定。同時(shí)，使用中心流形定理和規(guī)范型方法得到了具正-Dirichlet邊界條件的模型的Hopf分支的存在性、分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性。
　　其次，研究了一類單位增長(zhǎng)率只與種群的歷史密度有關(guān)的（包括logistic型和弱Allee型）具零-Dirichlet邊界條件的時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散種群模型。定義了前向（后向）Hopf分支，并分別對(duì)具前向穩(wěn)態(tài)分支的logistic型模型和具

4、后向穩(wěn)態(tài)分支的弱Allee型模型用Liapunov-Schmidt方法以時(shí)滯為參數(shù)證明了空間非齊次平衡解附近的前向Hopf分支的存在性。
　　再次，研究了一個(gè)單位增長(zhǎng)率既依賴于種群歷史密度又與當(dāng)前密度有關(guān)的具零-Dirichlet邊界條件的時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散種群模型。以生物的成熟期（時(shí)滯）為參數(shù)使用中心流形定理和規(guī)范型方法得到了當(dāng)歷史密度對(duì)單位增長(zhǎng)率的影響大于當(dāng)前密度時(shí)空間非齊次平衡解附近的Hopf分支的存在性，分支方向和分支周期解的穩(wěn)

5、定性；同時(shí)，構(gòu)造一對(duì)上下解，證明了模型周期解的一致有界性，進(jìn)而應(yīng)用全局Hopf分支定理得到了局部Hopf分支的全局延拓結(jié)果。
　　最后，研究了一個(gè)具年齡結(jié)構(gòu)的瘧疾模型。使用具年齡結(jié)構(gòu)模型的Hopf分支定理，證明了當(dāng)瘧原蟲的最大復(fù)制率接近一個(gè)臨界值時(shí)，模型出現(xiàn)由Hopf分支產(chǎn)生的周期解，這表明瘧原蟲進(jìn)入血紅細(xì)胞和被血紅細(xì)胞釋放都是幾乎同步的。給出了計(jì)算最大復(fù)制率的臨界值的方法，并發(fā)現(xiàn)了使得同步現(xiàn)象出現(xiàn)的爆破率和最大復(fù)制率臨界值的某些