3_3兩個隨機變量函數(shù)的分布

1、§3.3 二維隨機變量函數(shù)的分布,已知（X，Y）的分布，求其函數(shù)Z= g (X,Y)的分布,內容：,要點：,一、離散型二、連續(xù)型（和的分布）,要求：,掌握基本方法,下頁,一、離 散 型,例1． 已知（X, Y ) 的聯(lián)合分布律,-1, 0, 2, 3, 5, 且,求 Z = X+Y的概率分布.,解： Z = X + Y 的所有可能取值為：,P{Z= -1}=P{X+Y= -1}=P{X= -1，Y=0}=

2、1/10,P{Z= 0}=P{X+Y=0}=P{X= -1，Y=1}=1/20,P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10,pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10,問題：Z = XY 的概率分布？,下頁,已知X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y),求Z=g(X,Y)的密度.,Z=X+Y的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Z≤z)

3、=P(X+Y ≤ z),這里積分區(qū)域D={(x, y): x+y ≤z}是直線x+y =z 左下方的半平面.,(一) Z = X + Y 的分布,二、連 續(xù) 型,下頁,化成累次積分,得,固定z和y,對方括號內的積分作變量代換, 令x=u-y,得,變量代換,交換積分次序,下頁,由概率密度與分布函數(shù)的關系, 即得Z=X+Y的概率密度為:,由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.

4、,下頁,當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,這兩個公式稱為卷積公式 .,下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度,下頁,卷積公式 .,解 X 、Y 的概率密度,例2 設X、Y的相互獨立，且都在[0，1]上服從均勻分布，求 Z=X+Y的分布。,下頁,當0≤z≤1時，,fZ(z) =,當1＜z＜2時，,fZ(z) =,所以,法一,下頁,下頁,法二,例3 設X和Y

5、是兩個互相獨立的隨機變量，且X～N（0，1），Y ～N（0，1），求Z = X +Y 的概率密度。,解 由于X、Y互相獨立，由卷積公式,即 Z=X+Y～N（0，2）,下頁,（2）如果Xi(i=1,2,…,n)為 n 個互相獨立的 隨機 變量，且 Xi ~ N( μi，σi2)，則,一般地（1）若X1~ ，X2~N ，

6、 且X1、X2相互獨立，則有,X1+X2~N,注意：,1. 卷積公式的條件及選擇；,2. 一般地，如求 XY，X/Y，max(X,Y) 可考慮分布函數(shù)法,下頁,（二）Z= X/Y 與 Z=XY 的概率分布,設（X、Y）是二維連續(xù)型隨機向量，概率密度為f(x,y)求 Z=X / Y的概率分布。,解,故Z=X / Y的概率密度為,特別地，當X、Y相互獨立時有,下頁,補充例1. 設X,

7、Y相互獨立服從同一分布,且P{X=i}=1/3 (i=1,2,3) 令Z=max(X,Y). 求Z的概率分布,解：先求X,Y的聯(lián)合分布律。因為X,Y獨立， 所以 P{X=iY=j}=P{X=i}P{Y=j},Z =max(X,Y)的所有可能取值為1,2,3,P{Z=1}=P{X=1,Y=1}=1/9,P{Z=2}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}=1/3,P{Z=

8、3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3} +P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=3}=5/9,下頁,補充例 2(課后習題17).,解:,所以,下頁,下頁,補充例3 (99數(shù)學4—積的分布）設隨機向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)| 0≤x≤2,0≤y≤1}上均勻分布，試求邊長Ｘ和Ｙ的矩形面積Ｓ的概率分布。,解：設面積Ｓ的分布函數(shù)為FS(s),則 FS(s)＝P{S

9、≤s}若 0≤s≤2,則 FS(s)＝P{S≤s}＝P{ＸＹ≤s} =1-P{ＸＹ>s},S2,則 FS(s)＝P{S≤s}=1 所以,下頁,補充4(課后習題19) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).,又由于X和Y 相互獨立,于是得到M=max(X,Y

10、)的分布函數(shù)為:,即有,FM(z)=P(M≤z),=P(X≤z)P(Y≤z),=P(X≤z,Y≤z),由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z),下頁,類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是,即有,=1-P(X>z,Y>z),FN(z)=P(N≤z),=1-P(N>z),=1- P(X>z)P(Y>z),FN(z)= 1-[1-FX(z)]

11、[1-FY(z)],FM(z)= FX(z)FY(z),具體見下例,例 設隨機向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤2}上均勻分布，試求Z= min（Ｘ，Ｙ)概率密度 。,設Z= min（Ｘ，Ｙ)的分布函數(shù)為FＺ(z),則 FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)],解：容易判定Ｘ和Ｙ相互獨立，且,下頁,,作業(yè)： 80頁 18,結束,補充題：設X、Y相互獨立

12、 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函數(shù).,解一：用分布函數(shù)法,例.設X、Y相互獨立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函數(shù).,現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y ≤z的取值，分四種情況計算.,①當z<0時，F(xiàn)z(z)=0；,②當z>2時，F(xiàn)z(z)=1；,下頁,,,③當0≤z≤1時，,解1：用分布函數(shù)法,例.設X、Y相互獨立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的

13、密度函數(shù).,現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y ≤z的取值，分四種情況計算.,④當1<z≤2時，,下頁,,,解1：用分布函數(shù)法,所以，,例.設X、Y相互獨立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函數(shù).,現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y ≤z的取值，分四種情況計算.,下頁,當0≤z≤1時，,fZ(z) =,當1＜z＜2時，,fZ(z) =,所以,下頁,當z2時，,fZ(z) =,解2：,下頁,例：