n維時(shí)不變系統(tǒng)的方程為

1、n 維時(shí)不變系統(tǒng)的方程為,系統(tǒng)(7-10)的穩(wěn)定性完全可由特征方程式(7-11)的根及其相應(yīng)的模式來決定。,(7-10),五、時(shí)不變線性系統(tǒng) 的穩(wěn)定性判據(jù),1. 運(yùn)動(dòng)模式及其收斂、發(fā)散、有界的條件,例題A-1,(7-10) 式中A陣的特征值稱為模態(tài)，ni 重特征值 ? 對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式可能有e?t, te?t,…, , 均稱為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模式。但這些模式并非全部都出現(xiàn)，究竟出現(xiàn)多少項(xiàng)取決于? 的幾何結(jié)構(gòu)。例如下面

2、不同的若當(dāng)形結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)模式：,盡管三者均具有相同的特征值且代數(shù)重?cái)?shù)相等，但卻有不同的幾何重?cái)?shù)：他們分別為3、2、1。,注：1) 代數(shù)重?cái)?shù) ni ：特征式中僅有的因子,幾何重?cái)?shù) ： ? i對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)，即屬于?i 的若當(dāng)塊的塊數(shù)。 幾何重?cái)?shù) 可以如下求出：,例：若?i為6階系統(tǒng)的三重根，且由計(jì)算得到,則表明?i有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量。,5,以下幾種提法是等價(jià)的（參看矩陣論）：對(duì)特征值?

3、i,(a) ?i 是最小多項(xiàng)式的單根;(b) ?i 的初等因子都是一次的；(c) 對(duì)應(yīng)的 Ji 是對(duì)角形；(d) 對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊的個(gè)數(shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)；(e) 幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù).,由以上討論可以得出的結(jié)論是：Re ? 0, ? 對(duì)應(yīng)的所有運(yùn)動(dòng)模式發(fā)散，即隨著時(shí)間趨于無窮而趨于無窮，并且是按指數(shù)規(guī)律發(fā)散.。Re ? =0, 分兩種情況：若 ? 對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊全是一階子塊，這時(shí)? 的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)一致，不會(huì)發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象，運(yùn)動(dòng)模

4、式也不收斂，運(yùn)動(dòng)模式是有界的；,當(dāng)? 的幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)，? 對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊一定有二階或二階以上的出現(xiàn)，這時(shí)運(yùn)動(dòng)模式發(fā)散，但發(fā)散是按時(shí)間的冪函數(shù)的規(guī)律。因此當(dāng)零實(shí)部重根出現(xiàn)時(shí),一定要研究它的幾何重?cái)?shù)后，才可對(duì)運(yùn)動(dòng)模式的形態(tài)作出結(jié)論。 只要將例題A-1中的特征值?換為零，就可證實(shí)以上結(jié)論：,8,定理7-4：系統(tǒng)dx/dt=Ax的穩(wěn)定性有以下充分必要條件,(李氏)穩(wěn)定： det(sI?A)實(shí)部為零的根對(duì)應(yīng)的初等因子是一次

5、(或?qū)?yīng)的若當(dāng)塊為一階子塊，或是最小多項(xiàng)式的單根。幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。) ，且其余根均具負(fù)實(shí)部。,漸近穩(wěn)定： det(sI?A)的所有根均具負(fù)實(shí)部。,不穩(wěn)定： det(sI?A)有正實(shí)部的根或?qū)嵅繛榱愕母鶎?duì)應(yīng)的初等因子不是一次。,證明：根據(jù)定理7-2，我們只要討論其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)就可以了。,2. 穩(wěn)定性判據(jù),將eAt 寫成 PeJt P?1，這里,顯然，只要討論eJt的有界性和收斂性即可，而這等價(jià)于討論eJt 的每個(gè)元素的有界性和

6、收斂性。,（李氏）穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng) 特征多項(xiàng)式實(shí)部為零的根對(duì)應(yīng)的初等因子是一次，且其余根均具負(fù)實(shí)部。,漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng) 特征多項(xiàng)式的所有根均具負(fù)實(shí)部。,不穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng) 特征多項(xiàng)式有正實(shí)部的根或?qū)嵅繛榱愕母鶎?duì)應(yīng)的初等因子不是一次。 證完。,漸近穩(wěn)定? 一致漸近穩(wěn)定?指數(shù)漸近穩(wěn)定,討論：根據(jù)定理7-2，（1）對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng),穩(wěn)定?一致穩(wěn)定,這是因?yàn)槿?則N必與t0無關(guān)(參見定理7-2）。,因此，時(shí)不變系統(tǒng)按指數(shù)漸近穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、一致漸近穩(wěn)定

7、顯然也是等價(jià)的，即,（2）總可以將 寫成,這是為什么對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，通常只說“系統(tǒng)漸近穩(wěn)定”的原因。,例題 系統(tǒng)方程如下,式中a為實(shí)常數(shù)，寫出x=0李氏穩(wěn)定時(shí)a的取值條件。,解 系統(tǒng)的特征方程式為,所以 李氏穩(wěn)定。,三根在左半平面；,有正根 ；,有一根為?7/4 , 另兩根為 ?j,+j,勞斯表：,16,a=0時(shí)，勞斯表為：,此時(shí)可用(s+3)乘特征方程，得到,然后再用勞斯判據(jù)進(jìn)

8、行判別。,§7-2 線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,或用復(fù)數(shù)域表示,系統(tǒng)方程為,(A-2),18,可見x (t),y (t)由四部分組成。穩(wěn)定性問題是A的特征值問題，但以四項(xiàng)形式出現(xiàn)，與B、C陣密切相關(guān)，這說明對(duì)系統(tǒng)采用狀態(tài)空間描述時(shí),帶來了新的穩(wěn)定性概念，這些穩(wěn)定性概念又和系統(tǒng)可控性、可觀測(cè)性密切相關(guān)。,,等價(jià)變換對(duì)穩(wěn)定性的影響：如果對(duì)動(dòng)態(tài)方程(A-1),一、有界輸入、有界狀態(tài)（BIBS）穩(wěn)定,本節(jié)研究：,進(jìn)行等價(jià)變換,不會(huì)改變

9、運(yùn)動(dòng)模式的性質(zhì)，因而也不會(huì)改變(A-2)式中四項(xiàng)的有界性，即等價(jià)變換不改變穩(wěn)定性。,定義若x(0)=0, 及在任意有界輸入 u(t) 作用下，均有x(t)有界, 則稱系統(tǒng)(A-1) BIBS穩(wěn)定。 若對(duì)任意的x(0), 及在任意有界輸入u(t)作用下, 均有x(t)有界, 則稱系統(tǒng)(A-1) BIBS全穩(wěn)定。,定理7-6 系統(tǒng)(A-1)BIBS 穩(wěn)定?系統(tǒng)(A-1)全體可控模式收斂；系統(tǒng)(A-1)BIBS 全穩(wěn)定?系統(tǒng)(A-1)

10、全體可控模式收斂、全體不可控模式不發(fā)散。,21,定理7-6 可以用可控性分解來說明。不妨假定，(A-1)式中的矩陣A、B具有可控性分解形式。這時(shí)有,當(dāng)x(0)=0時(shí)，x(t)的表達(dá)式中只有第二項(xiàng)，這項(xiàng)與不可控模式無關(guān)，而,這里K是u(t)的界，上式若有界當(dāng)且僅當(dāng)A1的特征值均具負(fù)實(shí)部（因可控，輸入可激勵(lì)所有模式，p.49)。當(dāng)考慮全穩(wěn)定時(shí), A 的所有模式均要計(jì)及，故需加上 有界的條件，而這個(gè)條件就是A4李氏穩(wěn)定的條件。,

11、從復(fù)數(shù)域上的判別：從表達(dá)式(A-3)可知，BIBS穩(wěn)定的條件就是: (sI?A)?1B 的極點(diǎn)均具負(fù)實(shí)部。這是因?yàn)椴豢煽啬B(tài)均已消去，故只要對(duì)可控模態(tài)提出要求即可。,李氏穩(wěn)定條件加上了BIBS穩(wěn)定條件就是BIBS全穩(wěn)定的條件。,二、有界輸入、有界輸出（BIBO）穩(wěn)定,本節(jié)研究(A-2)式中的第三、四項(xiàng)：,定義 若x (0)=0,及在任意有界輸入u(t)作用下，均有y(t)有界,則稱系統(tǒng)(A-1) BIBO穩(wěn)定(第4項(xiàng)）。若

12、對(duì)任意的x(0), 及在任意有界輸入u(t)作用下, 均有y(t)有界, 則稱系統(tǒng)(A-1)BIBO全穩(wěn)定(第3、4項(xiàng)）。,定理7-7: 系統(tǒng)(A-1)BIBO 穩(wěn)定?系統(tǒng)(A-1)全體可控可觀模式收斂;系統(tǒng)(A-1) BIBO 全穩(wěn)定?系統(tǒng)(A-1)全體可控可觀模式收斂、全體可觀不可控模式不發(fā)散。,證明：1）從y(s)=C(sI?A)?1Bu(s)即可看出。因?yàn)榇藭r(shí)不可控、不可觀的模態(tài)均被消去，故必須全體可控、可觀模態(tài)具負(fù)實(shí)部。

13、 這也可以從標(biāo)準(zhǔn)分解(p.73)看出。事實(shí)上，若假定系統(tǒng)已有標(biāo)準(zhǔn)分解形式，則易于驗(yàn)證：,25,于是系統(tǒng) BIBO 穩(wěn)定就等價(jià)于A11的所有特征值均具負(fù)實(shí)部（相應(yīng)的模式收斂）。,從復(fù)數(shù)域上判別： BIBO穩(wěn)定研究,的極點(diǎn)是否具有負(fù)實(shí)部，這正是經(jīng)典控制理論中研究的穩(wěn)定性。判別G(s)的極點(diǎn)是否全在左半平面，可用勞斯或霍爾維茲判據(jù)。,只要證明全體可觀不可控模式必須不發(fā)散就可以了，而這對(duì)應(yīng)于零輸入響應(yīng)（第3項(xiàng)）。

14、 考慮可觀測(cè)性分解。不妨假定 (A-1)式中的矩陣A、C已具有可觀性分解形式。這時(shí)有,定理A-2、A-3明顯地表明 BIBS 穩(wěn)定、BIBO 穩(wěn)定與系統(tǒng)可控性、可觀性密切相關(guān)。,如前所述，可控可觀的模式必須收斂，顯然，要使BIBO 全穩(wěn)定，全體可觀不可控模式必須不發(fā)散。

15、 證完。,28,例：考慮系統(tǒng),討論其BIBS、BIBO及BIBS、BIBO全穩(wěn)定。解：系統(tǒng)是不可控但可觀測(cè)的，可控模態(tài)是?1。根據(jù)定理7-6，系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定，但非全穩(wěn)定。 又系統(tǒng)可控、可觀的模態(tài)是?1，故系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定。但不可控、可觀的模態(tài)是1，故系統(tǒng)也非BIBO全穩(wěn)定。,定義 若對(duì)任意的x (0) 及在任意有界輸入u(t) 作用下, 均有x(t) 、y(t)有界, 則稱系統(tǒng)(A-1) 總體穩(wěn)定。,一個(gè)用狀態(tài)方

16、程描述的系統(tǒng)，要能夠正常工作，總體穩(wěn)定是先決條件?？傮w穩(wěn)定包含了BIBO全穩(wěn)定和BIBS全穩(wěn)定；而BIBS全穩(wěn)定蘊(yùn)涵BIBO 全穩(wěn)定，于是我們有 總體穩(wěn)定的充分必要條件是BIBS全穩(wěn)定。,三、總體穩(wěn)定( T 穩(wěn)定),(6-1) (定理7-8） 若（Ａ，Ｃ）可觀，則有 BIBO 穩(wěn)定? BIBS 穩(wěn)定,(6-2) （定理7-9）若（Ａ，B）可控，則有 BIBS 穩(wěn)定? Re

17、?i(A)<0,(6-3) （定理7-10 ）若（Ａ，B，Ｃ）可觀、可控，則有 BIBO 穩(wěn)定? Re ?i(A)<0,容易驗(yàn)證以下命題(講義中定理7-8~7-12）成立：,四、穩(wěn)定性之間的關(guān)系,31,(6-4)（定理7-11 ） BIBS 全穩(wěn)定? BIBS 穩(wěn)定 , A 李氏穩(wěn)定,(6-5)（定理7-12 ） 若（Ａ，Ｃ）可觀，則有 BIBO 全穩(wěn)定?

18、BIBO 穩(wěn)定, A李氏穩(wěn)定,命題(6-1)-(6-5)分別證明如下：,命題(6-1)：若（Ａ，Ｃ）可觀，則有 BIBO 穩(wěn)定? BIBS 穩(wěn)定,證明： “? ” 顯然。下面證 “?”：,事實(shí)上，假定系統(tǒng)已具有可控性分解：,則(A,C)可觀意味子系統(tǒng)(A1, B1, C1)是可控可觀測(cè)的。根據(jù)定理3-8（p.101）： (A1, B1, C1)可控、可觀測(cè)的充分必要條件對(duì)應(yīng)的傳函陣G(s)的

19、極點(diǎn)多項(xiàng)式與A1的特征多項(xiàng)式相等。此時(shí)，BIBO 穩(wěn)定與 G(s) 的極點(diǎn)多項(xiàng)式的根均具負(fù)實(shí)部等價(jià)，從而，與A1的所有模態(tài)(可控模態(tài)!) 均具負(fù)實(shí)部等價(jià)，這恰恰是 BIBS 穩(wěn)定的充要條件（定理7-6）。 證完。,命題(6-2)： 若（Ａ, B）可控，則有 BIBS 穩(wěn)定? Re?i(A)<0,證明：只需要證 BIBS 穩(wěn)定? Re ? i(A)&

20、lt;0即可。,事實(shí)上，根據(jù)定理A-2，系統(tǒng) BIBS 穩(wěn)定等價(jià)于所有可控模態(tài)所對(duì)應(yīng)的模式收斂，即可控模態(tài)（特征值）具負(fù)實(shí)部。因?yàn)椋ǎ? B）可控，故A陣的所有模態(tài)（特征值）均為可控模態(tài)，此時(shí)系統(tǒng) BIBS 穩(wěn)定必等價(jià)于其所有特征值均具負(fù)實(shí)部，從而，所有的模式均收斂。 證完。,命

21、題(6-3)： 若（Ａ, B, Ｃ）可觀、可控，則有 BIBO 穩(wěn)定? Re?i(A)<0,證明：,命題(6-4)： BIBS 全穩(wěn)定? BIBS 穩(wěn)定 , A 李氏穩(wěn)定,證明：這就是定理7-6之(2)。因A的模態(tài)及對(duì)應(yīng)的模式只有可控和不可控兩種，均包含在(2)中了。,命題(6-5)：若（Ａ, Ｃ）可觀，則有 BIBO 全穩(wěn)定 ? BIBO 穩(wěn)定、 A李氏穩(wěn)定,證明：充分性顯然

22、。必要性：因(A, C)可觀測(cè)，則所有的模式均可出現(xiàn)在,中(習(xí)題2-14）。由于x0的任意性，這要求A李氏穩(wěn)定。 證完。,推論：若（A, C）可觀，則 BIBO 全穩(wěn)定與 BIBS全穩(wěn)定等價(jià)。,證明：由命題(6-5)，此時(shí) BIBO全穩(wěn)定等價(jià)于BIBO穩(wěn)定、A李氏穩(wěn)定；而命題（6-1）表明系統(tǒng)還是BIBS穩(wěn)定的

23、。故由命題(6-4)知結(jié)論真。 證完。,BIBS全穩(wěn)定BIBO全穩(wěn)定,定理7-13 若（Ａ，B，Ｃ）可觀、可控，以下事實(shí)等價(jià),1. BIBO 穩(wěn)定; 2. BIBS 穩(wěn)定; 3.A 漸近穩(wěn)定; 4.A 的所有特征值具負(fù)實(shí)部; 5.傳遞函陣極點(diǎn)具負(fù)實(shí)部;

24、 6.總體穩(wěn)定,注： 定理中的5 用到了第三章中的定理3-8：(A,B,C)可控、可觀測(cè)的充分必要條件是G(s)的極點(diǎn)多項(xiàng)式與A的特征多項(xiàng)式相等。,若系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程描述可控且可觀測(cè)，則稱系統(tǒng)可由傳遞函數(shù)陣完全表征。因此，定理7-13說明，此時(shí)，系統(tǒng)的總體穩(wěn)定性僅由傳遞函數(shù)就可以確定而不需考慮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程描述。 從工程應(yīng)用的角度，由于系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，總要求系統(tǒng)矩陣A是漸近穩(wěn)定的。一般將李氏穩(wěn)定稱為臨界穩(wěn)定。,定理 7

25、-13,6-1,6-2,時(shí)不變系統(tǒng)判斷各種意義下的穩(wěn)定性，一般要求出A的特征值，再對(duì)這些特征值的可控、可觀性近行研究，再根據(jù)定理作判斷。因?yàn)橄到y(tǒng)的可控性、可觀性與傳函陣零、極點(diǎn)對(duì)消（或約去模態(tài)）有聯(lián)系，因此可以不去判別各特征值的可控、可觀性，直接計(jì)算：,BIBS 穩(wěn)定： (sI?A)?1B (所有極點(diǎn)在左半面） BIBS 全穩(wěn)定： (sI?A)?1 (不發(fā)散) + BIBS 穩(wěn)定BIBO 穩(wěn)定： C(sI?A)?1B

26、(所有極點(diǎn)在左半面） BIBO 全穩(wěn)定： C(sI?A)?1 (不發(fā)散) + BIBO 穩(wěn)定,由計(jì)算的結(jié)果判別。,42,例：考慮系統(tǒng),討論其BIBS、BIBO及BIBS、BIBO全穩(wěn)定。解：可以從復(fù)數(shù)域（傳遞函數(shù)）的角度來討論：BIBS:,43,BIBO:,BIBS全穩(wěn)定：否,BIBO全穩(wěn)定：否,例題 多變量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中K1，和K2都是非零常數(shù),v1，v2 是輸入量，y1，y2 是輸出量。試給出系統(tǒng)總體穩(wěn)定時(shí)

27、參數(shù)K1，K2 應(yīng)滿足的條件（只要給出不等式，不要求解出不等式）。,解 根據(jù)圖中所給出的關(guān)系，列出方程組如下,消去中間變量u1、u2，經(jīng)整理后不難得到下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程：,B、C 矩陣的秩均為2，系統(tǒng)可控、可觀測(cè)，故根據(jù)定理7-13，總體穩(wěn)定等價(jià)于漸近穩(wěn)定。于是,上面的多項(xiàng)式的根均在左半面的充要條件為,例題 系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程如下,其中a1、a2和 b 均為實(shí)常數(shù)，試分別給出滿足下列條件時(shí)，a1 、 a2和b的取值范圍

28、,1. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定；2. 有界輸入、有界輸出(BIBO)穩(wěn)定。,1 李氏穩(wěn)定：,1) 特征值一個(gè)為0，兩個(gè)有負(fù)實(shí)部 ；,2) ,特征值兩個(gè)為0，一個(gè)有負(fù)實(shí)部。經(jīng)驗(yàn)算，零特征值幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)相同，初等因子為一次；,3)一個(gè)零特征值，一對(duì)共軛零實(shí)部特征值。,解：特征多項(xiàng)式為,4) a1=0, a2=0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2 BIBO穩(wěn)定：,此外， 在a1、 a2的任何其它取值的情

29、形下都不會(huì) BIBO 穩(wěn)定。,例：考慮動(dòng)態(tài)方程：,討論當(dāng)常數(shù)a、b為何值時(shí)有1.關(guān)于零解李氏穩(wěn)定；2.系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定；3.系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定。解 系統(tǒng)可控性矩陣是：,易見： a>0， 三根為 0， ?5，?a 李氏穩(wěn)定; a<0， 有正根，不穩(wěn)定； a=0，二根為零，一根為?5，且,有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，零根對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊為兩個(gè)一階子塊，故李氏穩(wěn)定。,1. 考察零解的李氏穩(wěn)定性：,2 系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定：

30、只要考察（sI ?A)?1B 即可：,這說明不論a取何值，均有一個(gè)s=0是可控的，故BIBS不穩(wěn)定(a=0，s=0兩根中至少有一個(gè)不可控，因?yàn)榭煽匦跃仃嚨闹戎辽贋?，所以必有一個(gè)s=0可控)。,b=0、a 任意，BIBO穩(wěn)定。,例題7—10系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為,試分別給出系統(tǒng)滿足各種穩(wěn)定性時(shí)，參數(shù)a、b、σ、?(均為實(shí)數(shù)）應(yīng)滿足的充分必要條件。解,1. x =0李雅普諾夫意義下穩(wěn)定:,2. x =0漸近穩(wěn)定：,3 BIBS穩(wěn)定：根據(jù)定

31、理 7-6: BIBS穩(wěn)定等價(jià)于所有可控的模式收斂。將(A,b,c)分塊，考慮PBH檢驗(yàn)：,的可控性即可。顯然，(A2,b2)總可控、a?0 時(shí)(A1,b1)可控，從而整個(gè)系統(tǒng)可控（PBH檢驗(yàn)）；a=0 時(shí)rank[b1,A1b1]=0，A1的模態(tài)全都不可控。故,由于 ，只需分別判斷,,4 BIBS全穩(wěn)定：根據(jù)定理 7-6: BIBS全穩(wěn)定等價(jià)于所有可控的模式收斂、所有不可控的模式不發(fā)散。故根據(jù)BIBS穩(wěn)定性的分析