G——不變微分方程的離散.pdf

1、河南大學(xué)碩士學(xué)位論文G——不變微分方程的離散姓名：劉震申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：李起升2002.5.13一個(gè)微分方程系統(tǒng)的對(duì)稱群簡(jiǎn)單地說(shuō)就是將這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)解變換成系統(tǒng)另外解的群．這些群由作用在系統(tǒng)的獨(dú)立變量和相關(guān)變量上的變換組成．P e t e r J ．o l v e r介紹了一種方法可以較容易的求出微分方程的對(duì)稱群．一旦我們得到一個(gè)微分方程系統(tǒng)的對(duì)稱群，它就可以得到大量的應(yīng)用．首先，我們可以使用對(duì)稱群的性質(zhì)從已知解

2、來(lái)構(gòu)造新解．并且對(duì)稱群可以提供一種區(qū)分微分方程的解等價(jià)與否的方式．對(duì)于一般微分方程，單參數(shù)子群的不變量意味著我們可以將方程的階數(shù)降低一階．若獲得減少階數(shù)方程的解，我們可以對(duì)其積分得到原來(lái)方程的解．對(duì)于多參數(shù)對(duì)稱群，我們可以多次降低方程的階數(shù)，但是除非這個(gè)群滿足附加的“可解性”要求，我們才能通過(guò)積分得到原始方程的解．對(duì)于偏微分方程，我們可以使用對(duì)稱群來(lái)減少獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)，獲得“群不變”的解，[ 1 ] ．活動(dòng)標(biāo)架理論是G a s t o

3、nD a r b o u x 在研究剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)首先引進(jìn)的． 丘l i e c ”t a n ( [ 2 ，3 ] ) 將該活動(dòng)標(biāo)架發(fā)展成一種有效的工具，用以研究子流形及其不變量在變換群作用下的幾何性質(zhì)．到了二十世紀(jì)七十年代，幾位學(xué)者( [ 4 ，5 ，6 ，7 ] ) 開(kāi)始試圖將活動(dòng)標(biāo)架理論從標(biāo)架叢和聯(lián)絡(luò)中分離出來(lái)．最近，M a r kF e l s 和P e t e r J ．O l v e r ( 【8 ，9 】)建：藍(lán)了活動(dòng)標(biāo)架理

4、論的一種新方法，能夠系統(tǒng)地應(yīng)用于一般變換群．其主旨是將活動(dòng)標(biāo)架定義為變換群的一個(gè)等變映射．所有經(jīng)典的活動(dòng)標(biāo)架都可以用這種方法重新解釋，但這種新方法的應(yīng)用要更為廣泛．在[ 1 0 ，1 l 】中，活動(dòng)標(biāo)架理論被應(yīng)用于創(chuàng)建解決多項(xiàng)式基本對(duì)稱性和等價(jià)性問(wèn)題的新的算法，而多項(xiàng)式基本對(duì)稱性和等價(jià)性問(wèn)題則構(gòu)成了經(jīng)典不變量理論的基礎(chǔ)．在【1 2 ] 中，射影面的微分不變量被作了分類，并被用于生成在孤子理論中出現(xiàn)的可積P o i s s o n 流．對(duì)

5、于定義在曲線上的多重空間，P e t e rJ ．O l v e r 和M a r kF e l s 發(fā)展出一種新的活動(dòng)標(biāo)架的方法來(lái)系統(tǒng)構(gòu)造微分不變量和不變微分方程的數(shù)值近似．在現(xiàn)代數(shù)值分析中，用具有附加結(jié)構(gòu)的數(shù)值格式來(lái)逼近一個(gè)問(wèn)題近年來(lái)變的十分廣泛．首先的例子是從H o m i l t o n 力學(xué)引出的辛積分和相關(guān)的保能量方法，【1 3 ，1 4 ，1 5 ，] ．許多學(xué)者，包括s h o k i n ，[ 1 6 】，D o r

6、o d n i t s y n ，[ 1 7 ，1 8 】，A x f o r d 和J a e g e r s ，【1 9 ] ，B u d d 和c o Ⅲn s ，[ 2 0 ] ，正從事于對(duì)微分方程保對(duì)稱數(shù)值格式的設(shè)計(jì)．在不變量理論實(shí)踐的應(yīng)用上，用群不變的數(shù)值格式來(lái)近似微分不變量已經(jīng)被應(yīng)用到保對(duì)稱問(wèn)題上．在第二節(jié)，我們首先介紹群，不變量，延拓以及j e t 叢等基本概念和相關(guān)定理．在第三節(jié)，我們?cè)敱M闡述活動(dòng)標(biāo)架理論以及用活動(dòng)標(biāo)架