兩類偏微分方程的不變流形.pdf

1、本文主要研究偏微分方程d/dtu=(X)(u)(0.1)的不變流形，即中心流形，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形，其中(X)=A+N為定義在Banach空間X內(nèi)的非線性偏微分算子，A為線性算子，其譜具有三分性，N為非線性算子且其算子階小于A的算子階.在動力系統(tǒng)理論中人們特別關(guān)心方程(0.1)的一些特殊解（平衡解，周期解，擬周期解等）的存在性和穩(wěn)定性，而這些特解周圍的其它類型解的性質(zhì)可以通過研究這些特解而得到.KAM(Kolmogorov-Arnol

2、d-Moser)理論是研究偏微分方程擬周期解的一個強(qiáng)有力工具，它主要包括正規(guī)形方法和Newton-Nash-Moser隱函數(shù)定理方法.用正規(guī)形方法得到的擬周期解是線性穩(wěn)定的.最近Xavier Carbé，ErnestFontich和Rafael de la Llave引入?yún)?shù)化方法來求解線性算子的譜具有三分性的方程的擬周期解.該方法利用線性算子A的（離散）譜的三分性把原系統(tǒng)約化到一個有限維的子空間中.雖然該方法也需要無窮次KAM迭代，但

3、是所解的同調(diào)方程均是有限維.而需要指出的是該方法需要借助數(shù)值模擬等方法預(yù)先求出所考察方程的一個近似解K(t)，即d/dtK(t)-(X)(K(t))=e（t),其中‖e‖Y充分小.
　　本文主要考察Boussinesq方程utt=-αuxxxx+uxx+β（u）2xx， x∈T， t∈R，(0.2)和復(fù)Ginzburg-Landau方程ut=ru+(b+iv)△u-（κ+iμ）|u|2u, x∈Td=Rd/2πZd.(0.3)關(guān)于

4、以上兩個方程已經(jīng)有大量的研究成果.特別地，Rafael de la Llave在2009證明了(0.2)擁有光滑的中心流形.2015年徐君祥證明了(0.2)在適當(dāng)?shù)臈l件下存在一族具有2個頻率的擬周期解.2016年Rafael de la Llave和YannickSire證明了(0.2)有有限維的擬周期解.2008年K.W.Chung和袁小平證明在d=1情況下(0.3)存在周期解和2-維的擬周期解.2009年，叢洪滋，劉建軍和袁小平證明

5、d＞1時方程(0.3)也存在2-維擬周期解.2011年叢洪滋和高美娜證明了帶導(dǎo)數(shù)的復(fù)Ginzburg-Landau方程存在2-維擬周期解.2013年程紅玉和司建國證明了具有擬周期驅(qū)動的復(fù)Ginzburg-Landau方程存在(m+2)-維的擬周期解，此時驅(qū)動的頻率滿足Diophantine條件.
　　本文的具體安排如下:
　　第一章分為五節(jié).第一節(jié)介紹所研究問題的背景，特別是兩個具體模型的研究背景及研究現(xiàn)狀.第二節(jié)給出一些常

6、用定義，不等式，引理，命題等.第三節(jié)給出有限維和無窮維Hamilton系統(tǒng)的KAM定理.第四節(jié)給出具有驅(qū)動的非Hamilton系統(tǒng)的KAM定理，其中驅(qū)動頻率滿足Diophantine條件.第五節(jié)我們介紹Xavier Carbé，Ernest Fontich和Rafael de la Llave在2003年引入的參數(shù)化方法并簡單地介紹用該方法構(gòu)造擬周期解的過程.
　　第二章我們構(gòu)造具有擬周期驅(qū)動（驅(qū)動頻率滿足Diophantine條

7、件）的復(fù)Ginzburg-Landau方程的擬周期解.具體地，我們把所研究方程的解寫成所在空間基的線性組合，把該和代入方程后得到一個格點(diǎn)方程，然后我們做一個變換消去格點(diǎn)方程中的不可積項(xiàng)，再通過作用量角變量變換和一些簡單的計(jì)算我們得到一個可積系統(tǒng)加小擾動的系統(tǒng).最后利用第一章所證明的定理1.5得到我們的結(jié)果.
　　第三章我們構(gòu)造Boussinesq方程和復(fù)Ginzburg-Landau方程的有界解附近的穩(wěn)定流形.值得說明的是該解可以

8、是用任何方法得到的（向前）有界解.具體地，假設(shè)u(t)=K(t)是(0.1)的解，我們需要找到另一個函數(shù)ξ(t)使得u(t)=K(t)+ξ(t)也是(0.1)的解.把u(t)=K(t)和u(t)=K(t)+ξ(t)分別代入(0.1)中并經(jīng)簡單的計(jì)算得到關(guān)于ξ(t)的發(fā)展方程（原方程的變分方程）.以擬周期解K（θ+ωt）為例，所求它的穩(wěn)定流形就是集合(W)W={Wθ=(θ，ξs，ω(θ，ξs)):θ∈Tdρ，ξs∈Xsθ）.我們稱W是函數(shù)