圓錐曲線解答題精選 創(chuàng)新題

1、創(chuàng)新題創(chuàng)新題1.1.已知直線已知直線與曲線與曲線：交于交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，若直線，若直線AB和OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的lC221xymn??ABABM斜率都存在，則斜率都存在，則ABOMnkkm???.這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理垂徑定理”.”.（1）證明有心圓錐曲線的）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理垂徑定理”；（；（2）利用有心圓錐曲線的）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理垂徑定理”解答

2、下列問題：解答下列問題：①過點(diǎn)過點(diǎn)(11)P作直線作直線l與橢圓與橢圓22142xy??交于交于AB兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡的軌跡W的方程；的方程；②過點(diǎn)過點(diǎn)P(11)作直線作直線l?與有心圓錐曲線與有心圓錐曲線22:1(0)Ckxyk????交于交于E、F兩點(diǎn)兩點(diǎn)是否存在這樣的直線是否存在這樣的直線l?使點(diǎn)使點(diǎn)P為線段為線段EF的中點(diǎn)？若存在的中點(diǎn)？若存在求直線求直線l?的方程；若不存在的方程；若不存在說明理由說明理由

3、.解：（1）證明設(shè)11220012()()()()AxyBxyMxyxx?2211222211xymnxymn???????????相減得注意到12121212()()()()0xxxxyyyymn??????12012022xxxyyy????有即00121222()0()xyyymnxx????012012yyynxxxm?????AABOMnkkm???（2）①設(shè)由垂徑定理，1()1ABOMyyMxykkxx????則12ABOM

4、kk???即化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸平行時(shí)的坐標(biāo)也滿足方程.1112yyxx????A22220xyxy????ABxy或M故所求的中點(diǎn)的軌跡的方程為；ABMW22220xyxy????②假設(shè)過點(diǎn)P(11)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，且P為的中點(diǎn)，則l?22:1Ckxy???E、FEFEFOPkkk???由于1OPk?EFkk???直線:(1)1lykx?????，即，代入曲線的方程得22(1)1kxkxk?????1ykxk????C?即2(1

5、)2(1)(2)0kkxkkxkk??????由2224(1)4(1)(2)0kkkkk???????得1k??.故當(dāng)1k??時(shí)，存在這樣的直線，其直線方程為1ykxk????；當(dāng)10kk???且時(shí)，這樣的直線不存在.2.2.有如下結(jié)論：有如下結(jié)論：“圓222ryx??上一點(diǎn)上一點(diǎn))(00yxP處的切線方程為處的切線方程為200ryyyx??”，類比也有結(jié)論：，類比也有結(jié)論：“橢圓橢圓)()0(1002222yxPbabyax上一點(diǎn)??

6、??處的切線方程為處的切線方程為12020??byyaxx”，過橢圓，過橢圓C：1422??yx的右準(zhǔn)線的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)M引橢圓引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.B.（1）求證：直線）求證：直線ABAB恒過一定點(diǎn)；（恒過一定點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求時(shí)，求△ABM△ABM的面積的面積.解:（1）設(shè)M14)()())(334(112211???yyxxMAyxByxARtt的方程

7、為則∵點(diǎn)M在MA上∴①同理可得②13311??tyx13322??tyx由①②知AB的方程為)1(3133tyxtyx????即易知右焦點(diǎn)F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F（）0303（2）把AB的方程016714)1(322???????yyyxyx化簡(jiǎn)得代入∴又M到AB的距離7167283631||?????AB33231|334|???d由解得????????181622yxkxy???????????2221221211

8、62116kkykx222114kkOB?????OBOA1142121122222?????kkkk令則由知222112kkt???22222212221442112kkkkkt?????????22??t記，則在上是增函數(shù)，∴，??OBOA1tt21?tttf21)(??)(tf]22()2()()2(ftff??∴由①②知，的最大值為，的最小值為.491245???OBOAOBOA1?49OBOA1?4255.5.設(shè)xyR?，i?

9、，j?為直角坐標(biāo)系中的單位向量，為直角坐標(biāo)系中的單位向量，(2)axiyj??????，(2)bxiyj??????，||||8ab????。（1）求動(dòng)點(diǎn)）求動(dòng)點(diǎn)()Mxy的軌跡的軌跡C的方程；的方程；（2）過點(diǎn)）過點(diǎn)(03)作直線作直線l與曲線與曲線C交于交于A、B兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若OPOAOB??????????????，是否存在直線，是否存在直線l使得使得OAPB為矩形為矩形若存在，求出直線若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明

10、理由的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）∵(2)axiyj??????，(2)bxiyj??????，||||8ab????∴動(dòng)點(diǎn)()Mxy到定點(diǎn)1(02)F?、2(02)F的距離之和為8∴曲線C的軌跡方裎為2211216xy??(2)直線l過(03)N，若l是y軸，則A、B是橢圓的頂點(diǎn)?！?OPOAOB????????????∴P與O重合，與OAPB為矩形矛盾.∴直線l的斜率存在設(shè)l：3ykx??，11()Axy，22()Bxy由2

11、2311216ykxxy?????????得22(43)18210kxkx????∵22481821(43)0kk???????恒成立∴由韋達(dá)定理得1221834kxxk????，1222134xxk????∵OPOAOB??????????????∴OAPB是平行四邊形若存在l，使它為矩形，則OAOB?????????即0OAOB??????????∴12120xxyy????即21212(1)3()90kxxkxx?????∴222