圓錐曲線一題40問之

1、1圓錐曲線一題 圓錐曲線一題 40 問之（ 問之（1）弦長問題 ）弦長問題已知橢圓 E： ，左右焦點分別為 ，左右頂點分別為 ， ，上 1 3 4x 2 2? ? y ) 0 , 1 ( ), 0 , 1 ( 2 1 F F ? ) 0 , 2 ( 1 ? A ) 0 , 2 ( 2 A下頂點為 ， 。 ) 3 , 0 ( B ) 3 , 0 ( / ? B（1）過點 的直線 交橢圓 E 與 M，N 兩點，是否存在實常數(shù)λ，使 恒成立？

2、并由此求 1 F l ? ? ?? ? N F M F MN 1 1 ?的最小值。 MN（2）過點 的直線交橢圓 E 與 M，N 兩點，MN 的中垂線交 X 軸與點 D，是否存在實常數(shù)λ，使 1 F恒成立？ ? ?? D F MN 1 ?（3）過點 P(4，0)的直線交橢圓 E 與 M，N 兩點，設(shè) ，過點 M 作 x 軸的垂線與橢 ) 0 ( ? ?? ?? ? PN PM圓 E 與另一點 Q，證明： 。?? ??N F Q F 2

3、2 ?（4）過焦點 的直線交橢圓 E 與 M，N 兩點，求弦長 ，并求其最小值。 1 F MN圓錐曲線一題 圓錐曲線一題 40 問之（ 問之（2）面積問題 ）面積問題（5）已知動點 P 在橢圓 E 上，兩定點 ， ，求 的面積的最大值。 ) 23 , 1 (? M ) 23 , 1 ( ? N MPN ?（6）設(shè)直線 交橢圓 E 與 M，N 兩點，且以 MN 為直徑的圓過橢圓的右頂點 A，求 的面積的最大 l AMN ?值（7）過點 P

4、（0，-2）的直線 交橢圓 E 與 M，N 兩點，當(dāng) 的面積最大時，求直線 的方程。 l OMN ? l（8）過點 的兩直線 ， 分別交橢圓 E 與 M，N 兩點和 C，D 兩點，且 ，是否存在實常數(shù)λ， 1 F 1 l 2 l 2 1 l l ?使 恒成立？并求四邊形 MCND 面積的最小值和最大值。 CD MN CD MN ? ? ? ?3方程為： 方程為： 1 2020 ? ?by yax x（17）已知動點 P 在橢圓 E 上

5、（異于 ） ，證明： 為定值 A A ， /PA PA k k /（18）已知動點 P 在橢圓 E 上，過原點 O 的直線 與橢圓 E 交與 ， 兩點，證明： l ) , ( 1 1 y x M ） （ 2 2, y x N為定值。 PN PM k k ?（19）已知直線 與橢圓 E 交于 ， 兩點，且 MN 的中點為 P，求證： 為定 l ) , ( 1 1 y x M ） （ 2 2, y x N OP MNk k值。（20）已知動

6、點 P 在橢圓 E 上，在點 P 的切線的斜率為 k，證明： 為定值，且有 OP k ? k2 1 k k1k1PF PF k ? ? ?為定值。（21）已知 M，N 是橢圓 E 上的兩個動點，定點 滿足直線 PM 與 PN 的傾斜角互補，證明：直線 MN ） ， （ 23 1 P的斜率為定值。（22）證明橢圓 E 的兩個焦點到橢圓 E 的任一條切線的距離之積為定值（23）已知 M，N 是橢圓 E 上的兩個動點，且 ,求證： 為定值，且

7、原點 O 到直 ON OM ? 2 21 1ON OM?線 MN 的距離為定值。 ， 2 21 1b a ?（24）過點 的兩直線 ， 分別交橢圓 E 與 M，N 兩點和 C，D 兩點，且，求證：1 F 1 l 2 l 2 1 l l ?CD MN1 1 ?為定值。 （25）已知動點 M，N 是橢圓 E 上位于 x 軸上方的兩點，且直線 與直線 平行， 與 交于 1 MF 2 MF 1 MF 2 MF點 P。求證： 是定值。