《數(shù)學(xué)史》印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)(下)

1、數(shù)學(xué)史講義,,印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),,4.2 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),背景：阿拉伯簡(jiǎn)況 阿拉伯帝國(guó)的興盛被認(rèn)為是人類(lèi)歷史上最精彩的插曲之一，這當(dāng)然與先知穆罕默德（公元570－632年）的傳奇經(jīng)歷有關(guān)。穆罕默德570年出生在阿拉伯半島西南部的麥加。麥加當(dāng)時(shí)是一個(gè)遠(yuǎn)離商業(yè)、藝術(shù)和文化中心的落后地區(qū)，穆罕默德在極其艱苦的條件下長(zhǎng)大成人。 25歲那年，由于他娶了一位富商的遺孀，經(jīng)濟(jì)狀況才得到改善。直到40歲前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的

2、變化。穆罕默德領(lǐng)悟到有且只有一個(gè)全能的神主宰世界，并確信真主安拉選擇了他作為使者，在人間傳教。,穆罕默德610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年一個(gè)以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統(tǒng)一的阿拉伯國(guó)家出現(xiàn)于阿拉伯半島。 這就是伊斯蘭教的來(lái)歷，它在阿拉伯語(yǔ)里的意思是“順從”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服從先知的人）。 四大哈里發(fā)時(shí)期（632－661年）：632年穆罕默德逝世后，他的最初四個(gè)繼任者，哈里發(fā)為阿拉伯文的音

3、譯，意為真主使者的“繼承人”。,中東地區(qū)地圖,穆罕默德(570－632) 《古蘭經(jīng)》 《圣訓(xùn)》,阿拉伯科學(xué)(突尼斯, 1980),關(guān)于“代數(shù)”的由來(lái),西文“algebra”這個(gè)字來(lái)源于公元830年，花拉子米的一本天文學(xué)著作Al-jabr wal muqabala。Al-jabr的原意是”復(fù)原“，根據(jù)那里上下文的意思是說(shuō)：在方程的一邊去掉一項(xiàng)就必須在另一邊加上這一項(xiàng)使之恢復(fù)平衡。Almuqabala意思是指”化簡(jiǎn)“，即從方程兩

4、邊消掉相同的項(xiàng)。12世紀(jì)譯成拉丁文，簡(jiǎn)稱(chēng)algebra，漢譯名為”代數(shù)“。,4.2.1 阿拉伯的代數(shù),4.2.1 阿拉伯的代數(shù),(一)花拉子米(代數(shù)學(xué)),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的突出成就首先表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)方面．花拉子米(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，約783--850)是中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，他的《還原與對(duì)消計(jì)算概要》(約820年前后)一書(shū)在12世紀(jì)被譯成拉丁文，在歐洲產(chǎn)生巨大影響．阿拉伯語(yǔ)“al-

5、jabr”，意為還原移項(xiàng)；“wa’l-muqabala”即對(duì)消之意．傳入歐洲后，到14世紀(jì)“al-jabr”演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代數(shù))，因此花拉子米的上述著作通常就稱(chēng)為《代數(shù)學(xué)》．,阿爾 · 花拉子米（783－850）,早期伊斯蘭數(shù)學(xué): 8世紀(jì)中葉－9世紀(jì),代數(shù)教科書(shū)的鼻祖：《代數(shù)學(xué)》(820) (復(fù)原與對(duì)消),歐洲延用幾個(gè)世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)學(xué)教科書(shū),書(shū)中用代數(shù)方式處理了線性方程

6、組與二次方程，第一次給出了一元二次方程的一般代數(shù)解法及幾何證明，同時(shí)又引進(jìn)了移項(xiàng)、同類(lèi)項(xiàng)合并等代數(shù)運(yùn)算等等，這一切為作為“解方程的科學(xué)”的代數(shù)學(xué)開(kāi)拓了道路．,《代數(shù)學(xué)》約1140年被英國(guó)人羅伯特(Robert of Chester)譯成拉丁文，作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課本在歐洲使用了數(shù)百年，引導(dǎo)了16世紀(jì)意大利代數(shù)方程求解方面的突破.,《代數(shù)學(xué)》分六章敘述6種類(lèi)型的一、二次方程求解問(wèn)題．,▲第1章討論“平方等于根”的方程，即 型方程

7、；,▲第2章討論“平方等于數(shù)”的方程，即 型方程；,▲第3章討論“根等于數(shù)”的方程，即一次方程 ；,▲第4、5、6章是關(guān)于三項(xiàng)二次方程求解問(wèn)題，分別討論三種類(lèi)型的二次方程：,都給出了相應(yīng)的求根公式．,花拉子米還指出，任何二次方程都可以通過(guò)“還原”與“對(duì)消”(即移項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng))的步驟化成他所討論的六種類(lèi)型方程．由此可見(jiàn)，《代數(shù)學(xué)》關(guān)于方程的討論已超越傳統(tǒng)的算術(shù)方式，具有明顯的代數(shù)特征 。,花拉子米的另

8、一本書(shū)《印度計(jì)算法》(Algoritmi de numero indorum)也是數(shù)學(xué)史上十分有價(jià)值的數(shù)學(xué)著作，其中系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法，以及相應(yīng)的計(jì)算方法．,印度－阿拉伯?dāng)?shù)字,正是花拉子米的這本書(shū)使它們?cè)诎⒗澜缌餍衅饋?lái)，更值得稱(chēng)道的是，它后來(lái)被譯成拉丁文在歐洲傳播，所以歐洲一直稱(chēng)這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼．,該書(shū)書(shū)名全譯應(yīng)為“花拉子米的印度計(jì)算法”，其中Algoritmi是花拉子米的拉丁譯名，現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)“算法”(Algorit

9、hm)即源于此．,（三）奧馬·海亞姆與三次方程,波斯人奧馬·海亞姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世紀(jì)最著名且最富成就的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和詩(shī)人。,他在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他的《還原與對(duì)消問(wèn)題的論證》(簡(jiǎn)稱(chēng)《代數(shù)學(xué)》)一書(shū)中，其中有開(kāi)平方、開(kāi)立方算法，但該書(shū)對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展最杰出的貢獻(xiàn)是用圓錐曲線解三次方程．,編制了中世紀(jì)最精密的歷法：哲拉里歷,研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求

10、根的理論,奧馬 · 海雅姆（1044－1123年）,中期伊斯蘭數(shù)學(xué): 10－12世紀(jì),奧馬 · 海雅姆陵墓（伊朗）,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)提要,奧馬·海亞姆首先將不高于三次的代數(shù)方程分為25類(lèi)(系數(shù)為正數(shù))，找到14類(lèi)三次方程，對(duì)每類(lèi)三次方程給出相應(yīng)一種幾何解法。,例如解 ，首先將其化為 (這 里

11、 ， 按照希臘人的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)， 是線段， 正方形， 為長(zhǎng)方體)。,方程 的解就是拋物線 與半圓 交點(diǎn)橫坐標(biāo)x．,他首先畫(huà)出正焦弦為c的拋物線，再畫(huà)出直徑為d的半圓,過(guò)它們的交點(diǎn)作垂線PS，則QS長(zhǎng)度就是方程的解．這一創(chuàng)造，使代數(shù)與幾何的聯(lián)

12、系更加密切．,4.2.2阿拉伯的三角學(xué)與幾何學(xué),由于數(shù)理天文學(xué)的需要，阿拉伯人繼承并推進(jìn)了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來(lái)源于印度的《蘇利耶歷數(shù)全書(shū)》等天文歷表，以及希臘托勒玫的《大匯編》、梅尼勞斯的《球面論》(Sphaerica)等古典著作．,對(duì)希臘三角學(xué)加以系統(tǒng)化的工作是由9世紀(jì)天文學(xué)家阿爾·巴塔尼(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世紀(jì)對(duì)歐洲影響最大的天文學(xué)家．其《天文論著》(又名《星的科學(xué)》)被

13、普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開(kāi)普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果．,在該書(shū)中阿爾·巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)，如正弦、余弦、正切、余切．他稱(chēng)正弦為ji va，拉丁語(yǔ)譯作sinus，后來(lái)演變?yōu)橛⒄Z(yǔ)sine；稱(chēng)正切為umbraversa，意即反陰影；余切為umbrarecta，意即直陰影．后來(lái)演變拉丁語(yǔ)分別為tangent和cotangent，首見(jiàn)于丹麥數(shù)學(xué)家芬克(1561—1656)的《圓的幾何》(1

14、583)一書(shū)中． 而正割、余割是阿拉伯另一天文學(xué)家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940—997?)最先引入的．,艾布·瓦法和比魯尼等人進(jìn)一步豐富了三角學(xué)公式．艾布·瓦法曾在巴格達(dá)天文臺(tái)工作，其重要的天文學(xué)著作《天文學(xué)大全》繼承并發(fā)展了托勒玫的《大匯編》。其中除一些精細(xì)的三角函數(shù)表外，還證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價(jià)的關(guān)于弦的一些定理，證明了平面和球面三角形的正弦定理

15、．,比魯尼曾經(jīng)得到馬蒙(Ma'mun)哈里發(fā)的支持，在烏爾根奇建造天文臺(tái)并從事天文觀測(cè)，是一位有146多部著作的多產(chǎn)學(xué)者，其《馬蘇德規(guī)律》一書(shū)，在三角學(xué)方面有一些創(chuàng)造性的工作．他給出一種測(cè)量地球半徑的方法。,阿爾 · 比魯尼（973－1050年）,阿拉伯的三角學(xué)和幾何學(xué),利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表,證明了三角公式：正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式,比魯尼還證明了正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角

16、公式，后來(lái)阿爾·卡西利用這些公式計(jì)算了sinl’的值．,如果說(shuō)希臘以來(lái)，三角術(shù)僅是天文學(xué)的附屬的話，那么這種情況在納西爾·丁那里發(fā)生了一些改變．,他的天文學(xué)著作《伊兒汗天文表》(1271)是歷法史上的重要著作，其中測(cè)算出歲差51〞／每年，其《天文寶庫(kù)》則對(duì)托勒玫的宇宙體系加以評(píng)注，并提出新的宇宙模型。 他的《論完全四邊形》是一部脫離天文學(xué)的系統(tǒng)的三角學(xué)專(zhuān)著．該書(shū)系統(tǒng)闡述了平面三角學(xué)，明確給出正弦定理．

17、討論球面完全四邊形，對(duì)球面三角形進(jìn)行分類(lèi)，指出球面直角三角形的6種邊角關(guān)系(C為直角)：,《論完全四邊形》：脫離天文學(xué)系統(tǒng)的三角學(xué)專(zhuān)著,納西爾丁 （1201－1274年）（伊朗，1956）,后期伊斯蘭數(shù)學(xué): 13－15世紀(jì),并討論了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入極三角形的概念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三邊可以求三角，反之，由三角可以求三邊，這是球面三角與平面三角相區(qū)別的一個(gè)重要標(biāo)志．納西爾·丁的《論完全四邊

18、形》對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起著非常重要的作用．,與希臘人三角術(shù)的幾何性質(zhì)相比，阿拉伯人的三角術(shù)與印度人一樣是算術(shù)性的．例如由正弦值求余弦值時(shí)，他們利用恒等式 作代數(shù)運(yùn)算而求解，而不是利用幾何關(guān)系來(lái)推算，這是一種進(jìn)步．,與阿拉伯人的代數(shù)成就和三角學(xué)成就相比，阿拉伯人在幾何方面的工作主要是對(duì)希臘幾何的翻譯與保存，并傳給了歐洲，但希臘幾何學(xué)對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的嚴(yán)格性也產(chǎn)生一定的作用，并激發(fā)出思想

19、的火花．最重要的例子是他們?cè)谠u(píng)注《幾何原本》的過(guò)程中，對(duì)第五公設(shè)引起了注意，不少人試圖證明這條公設(shè)，如焦赫里(ai-Jawhari，約830)、塔比·伊本，庫(kù)拉(Thabit ibn Qurra，約826---901)、伊本。海塞姆(Ibn al-Haytham,965—1040?)、奧馬，海亞姆以及納西爾·丁等人。,阿拉伯人關(guān)于第五公設(shè)的這種興趣與嘗試，誘發(fā)了后世歐洲學(xué)者在這方面的興趣，對(duì)非歐幾何的誕生產(chǎn)生了一定的

20、影響．,非歐幾何,Non-Euclidean geometry 非歐幾里得幾何是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué);狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。,,,,作業(yè)：,簡(jiǎn)述巴克沙拉里手稿與印度記數(shù)法。簡(jiǎn)述阿拉伯的代數(shù)學(xué)。3. 花拉子米是什么時(shí)代、什么地方的數(shù)學(xué)家，簡(jiǎn)述他的代表著作和重