《數(shù)學(xué)史》印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)(上)

1、數(shù)學(xué)史講義,,印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),4.1 印度數(shù)學(xué),1921—1922年間．印度河流域莫亨佐·達羅、哈拉帕等古代城市遺址的考古挖掘，揭示了一個悠久的文明，史稱“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．這一文明的創(chuàng)造者是印度土著居民達羅毗荼人，其歷史可以追溯到公元前3000年左右．,如果說希臘數(shù)學(xué)與其哲學(xué)密切相關(guān)，那么古代印度數(shù)學(xué)則更多地受到其宗教的影響．雅利安人建立的婆羅門教(公元4世紀(jì)后改革為印度教)，以及稍后(

2、公元前6世紀(jì))興起的佛教、耆那教等，形成了古代印度數(shù)學(xué)發(fā)展的濃厚的宗教氛圍．,印度地圖,印度地圖,古代印度數(shù)學(xué),印度數(shù)學(xué)繁榮于公元6世紀(jì)到12世紀(jì)之間，主要歷史成就：（1）包括“零”在內(nèi)的數(shù)碼和十進位制記數(shù)法。（2）運用正弦的三角計算。（3）算術(shù)與代數(shù),印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可以劃分為3個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗荼人時期(約公元前3000一前1400)，史稱河谷文化；隨后是吠陀時期(約公元前10世紀(jì)一前3世紀(jì))；其次是悉檀

3、多時期(5世紀(jì)一12世紀(jì))．,4.1.1古代《繩法經(jīng)》,印度數(shù)學(xué)最早有可考文字記錄的是吠陀時代，其數(shù)學(xué)材料混雜在婆羅門教的經(jīng)典《吠陀》當(dāng)中，年代很不確定．吠陀即梵文veda，原意為知識、光明?！斗屯印穬?nèi)容包括對諸神的頌歌、巫術(shù)的咒語和祭祀的法規(guī)等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，后來記錄在棕櫚葉或樹皮上．,《吠陀》（梵文，意為知識、光明）是印度雅利安人的作品，成書于公元前15－前5世紀(jì)，歷時1000年左右，婆羅門教的經(jīng)典，其中的《繩法經(jīng)》

4、（前8－前2世紀(jì)）是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計與測量的部分。釋迦牟尼（公元前565－公元前486年）傳揚佛教時期，佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國（今尼泊爾境內(nèi)）王子喬達摩·悉達多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門徒稱他為佛），包含幾何、代數(shù)知識，如畢達哥拉斯定理、圓周率的近似值等。,吠陀時期（公元前10－前3世紀(jì)）,《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）,印度雅利安人的作品，《繩法經(jīng)》出現(xiàn)在

5、吠陀時代，包含畢達哥拉斯定理等數(shù)學(xué)知識,這些《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計與測量的部分《測繩的法規(guī)》(Sulva sūtrus)，即《繩法經(jīng)》，大約為公元前8世紀(jì)至公元前2世紀(jì)的作品．其中有一些幾何內(nèi)容和建筑中的代數(shù)計算問題．如勾股定理、矩形對角線的性質(zhì)等。給出了圓周率、根號2的近似值。,耆那教的經(jīng)典由宗教原理、數(shù)學(xué)原理、算術(shù)和天文等幾部分構(gòu)成。其中出現(xiàn)了許多計算公式，如圓的周長、弧長等。,4.1.2“巴克沙利手稿”,關(guān)于公元前2世紀(jì)至

6、公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)；可參考資料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地區(qū)一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村莊，發(fā)現(xiàn)了這一時期的書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利手稿”．,其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤計算、比例算法、級數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程．特別值得注意的是手稿中使用了一些數(shù)學(xué)符號 :,（1）減號：“12-7”記成“12 7+”．,（2）零號：用點表示0 ，

7、后來逐漸演變?yōu)閳A圈 。,巴克沙利手稿中出現(xiàn)了完整的十進制數(shù)碼 ：,有一塊公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地區(qū)的瓜廖爾(GwMior)城而以瓜廖爾石碑著稱，上面已記有明白無疑的數(shù)“0”．瓜廖爾數(shù)系為：,古代印度數(shù)學(xué),印度－數(shù)碼阿拉伯?dāng)?shù)碼阿拉伯?dāng)?shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人創(chuàng)造的.,關(guān)于0的發(fā)明,印度,0較早出現(xiàn)在巴克沙利手稿中，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明.最早的零用來表示記數(shù)法中的空位，而沒有看作是一個獨立的數(shù).

8、印度人起初也是用空位表示零，后記成點號，最后發(fā)展為圈號.后來，印度人又把零作為一個獨立的數(shù)。摩訶毗羅說：“一個數(shù)乘以零得零，加上零、減去零或除以零這個數(shù)都不變.”,關(guān)于0的發(fā)明,婆什迦羅在《算法本源》指出：“被除數(shù)為3、除數(shù)為0，得商 ，這個分母為0的分?jǐn)?shù)，稱為無限大量。”婆羅摩笈多在《婆羅摩笈多修正體系》中比較完整地敘述了零的運算法則：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)；正數(shù)減去零是正數(shù)；零減去零什么也沒有；零乘負(fù)數(shù)、正數(shù)或零都是零.”,用

9、圓圈符號“0”表示零，可以說是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明．在數(shù)學(xué)上，“0”的意義是多方面的，它既表示“無”的概念，又表示位值記數(shù)中的空位，而且是數(shù)域中的一個基本元素，可以與其他數(shù)一起運算．,印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國家，后又通過阿拉伯人傳至 歐洲．零號的傳播則要晚，不過至遲在13世紀(jì)初，斐波那契《算經(jīng)》中已有包括零號在內(nèi)的完整印度數(shù)碼的介紹．印度數(shù)碼和十進位值制記數(shù)法被歐洲人普遍接受之后，在歐洲近代科學(xué)的進步中扮演了重要的角色．,4.1.

10、3 “悉檀多時期的印度數(shù)學(xué)”,悉檀多(梵文siddhanta，原為佛教因明術(shù)語，可意譯為“宗”，或“體 系”)時代是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時期，其數(shù)學(xué)內(nèi)容主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一約550)、婆羅摩笈多(Brahmagupta，598—665)、馬哈維拉(Mahavira，9世紀(jì))和婆什迦羅(BhaskaraⅡ，1114一約1185)等．,（一）阿耶波多,阿耶波多是現(xiàn)今所知有確切

11、生年的最早的印度數(shù)學(xué)家，他只有一本天文數(shù)學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書》(499)傳世．該書最突出的地方在于對希臘三角學(xué)的改進和一次不定方程的解法。,阿耶波多把半弦與全弦所對弧的一半相對應(yīng)(見圖)，成為今天的習(xí)慣，同時他以半徑的 作為度量弧的單位，實際是弧度制度量的開始．他還給出了第一象限內(nèi)間隔為3º45’的正弦差值表．,阿耶波多最大貢獻是建立了丟番圖方程求解的所謂“庫塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用輾轉(zhuǎn)相除法

12、的演算程序，接近于連分?jǐn)?shù)算法．,印度科學(xué)史上有重要影響的人物，是最早的印度數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書》（圣使天文書）傳世（相當(dāng)于祖沖之《綴術(shù)》的年代），最突出之處在于對希臘三角學(xué)的改進,制作正弦表（sine一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖方程求解的“庫塔卡”（原意為“粉碎”）法。,阿耶波多（公元476－約550年

13、）,最早的印度數(shù)學(xué)家：阿耶波多（476－約550年）,499年《阿耶波多歷書》(圣使天文書),“阿耶波多號”人造衛(wèi)星（印度，1975）,π的近似值3.1416,婆羅摩笈多的兩部天文著作《婆羅摩修正體系》(628)和《肯德卡迪亞格》(約665)，都含有大量的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其代數(shù)成就十分可貴．,(二)婆羅摩笈多,在這段時間（中國的隋唐時期），整個世界（無論東方還是西方）都沒有產(chǎn)生一個大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因，并

14、在這里長大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺工作，在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》（宇宙的開端），這是一部有21章的天文學(xué)著作，其中第12、18章講的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完整地敘述了零的運算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現(xiàn)在所謂的佩爾（英，1611－1685年）方程的一種解法。他還著有《肯德卡迪亞格》（約665年）,婆羅摩笈多（598－約665年

15、）,烏賈因天文臺,婆羅摩笈多（598－約665年）,628年《婆羅摩修正體系》(宇宙的開端),●比較完整地敘述了零的運算法則,●利用二次插值法構(gòu)造了間隔為15°的正弦函數(shù)表,●獲得了邊長為 的四邊形的面積公式（有誤）：,實際上這一公式只 適用于圓內(nèi)接四邊形，婆羅摩笈多未意識到這一點，后來馬哈維拉，由這一公式出發(fā)將三角形視為有一邊為零的四邊形，得到了海倫公式。,(三)馬哈維拉,7世紀(jì)以后，印度數(shù)學(xué)出現(xiàn)了沉寂，到9世紀(jì)

16、才又呈現(xiàn)出繁榮．如果說7世紀(jì)以前印度的數(shù)學(xué)成就總是與天文學(xué)交織在一起，那么9世紀(jì)以后發(fā)生了改變．,耆那教徒馬哈維拉的《計算方法綱要》(The Ganita-Sāra-Sangraha)可以說是一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)專著，全書有9個部分：(1)算術(shù)術(shù)語，(2)算術(shù)運算，(3)分?jǐn)?shù)運算，(4)各種計算問題，(5)三率法(即比例)問題，(6)混合運算，(7)面積計算，(8)土方工程計算，(9)測影計算．,●給出了一般性的組合數(shù) 公式,●給出橢圓周

17、長近似公式：,馬哈維拉,馬哈維拉是印度南部邁索爾人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉庫塔王朝(R11strak&ta)的宮廷里生活過很長一段時間．約公元850年，他撰寫了《計算方法綱要》(Ganitas1rasagraha)一書。該書在印度南部曾被廣泛使用， 11世紀(jì)被譯成泰盧固語。20世紀(jì)初，它被重新發(fā)現(xiàn)．1912年，在馬德拉斯譯為英文出版．《計算精華》是印度第一本初具現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)教科書，現(xiàn)今數(shù)學(xué)教材中的一些論題和結(jié)構(gòu)在其中已可見到

18、。,(四)婆什迦羅,婆什迦羅是印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，長期在烏賈因負(fù)責(zé)天文臺工作．他有兩本代表印度古代數(shù)學(xué)最高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系統(tǒng)之冠》．,印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅，出生于印度南方的比德爾，成年后來到烏賈因天文臺工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來還做了這家天文臺的臺長。古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》（1150年，中國的南宋

19、時期）和《天球》，還有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。,婆什迦羅（1114－1188年）,“婆什迦羅號”人造衛(wèi)星（印度第二顆衛(wèi)星）（1979）,婆什迦羅（1114－1188年）,印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)極致》,《莉拉沃蒂》,《莉拉沃蒂》共有13章：第1章給出算學(xué)中的名詞術(shù)語；第2章是關(guān)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)的運算，包括加、減、乘、除、平方、開平方、立方、開立方等；第3章論各種計算法則和技巧；第4章關(guān)于利率等方面的

20、應(yīng)用題；第5 章數(shù)列計算問題，主要是等差數(shù)列和等比數(shù)列；第6章關(guān)于平面圖形的度量計算；第7至10章關(guān)于立體幾何的度量計算；,《莉拉沃蒂》,第11章為測量問題；第12章是代數(shù)問題，包括不定方程；第13章是一些組合問題．,●能夠熟地使用諸如和差與半角等三角公式,●能夠認(rèn)識并廣泛使用無理數(shù),《莉拉沃蒂》,婆什迦羅《天文系統(tǒng)之冠》,著于1150年，分 “應(yīng)用問題”、“代數(shù)”、“天球”和“行星數(shù)學(xué)”四篇。書中，他全面系統(tǒng)地介紹了算術(shù)、代

21、數(shù)和幾何知識，反映了印度12世紀(jì)的記數(shù)法，記載了有關(guān)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的8種基本運算，收集了有關(guān)利息、商品交換、合金成分、土方、倉庫容積、水利建設(shè)等各種與社會、經(jīng)濟活動有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，給出了有關(guān)代數(shù)、幾何、三角方面的一些成果。,關(guān)于印度的幾何,婆羅摩笈多曾給出了一個求四邊形面積的公式：婆羅摩笈多定理： 設(shè)圓內(nèi)接四邊形的各邊依次是 ，其對角線為則,關(guān)于印度的三角,把圓分成360度或21600分，改進托勒密把

22、直徑分為120等分，而且把半徑120等分。用單位弧長度量半徑，即　　　　　　，得把半弦與全弦所對弧的一半相對應(yīng)。,由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來文化影響較深，但印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計算為中心的實用化特點?，F(xiàn)代初等算術(shù)運算方法的發(fā)展，起始于印度，可能在大約10、11世紀(jì)，它被阿拉伯人采用，后來傳到歐洲，在那里，它們被改造成現(xiàn)在的形式。這些工作受到15世紀(jì)歐洲算術(shù)家們的充分注意。 與算術(shù)和代數(shù)相比，