自動(dòng)控制理論 1

1、第二章 線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,制作人 邱國(guó)躍,封面,控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型,在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,一.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：,描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,常用的數(shù)學(xué)模型,,靜態(tài)模型,動(dòng)態(tài)模型,在靜態(tài)條件下（即變量的各階導(dǎo)數(shù)為零），描述各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。,在動(dòng)態(tài)過程中，描述各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。,數(shù)學(xué)模型的建立方法,,分析法（解析法）,實(shí)驗(yàn)法,建立數(shù)學(xué)模

2、型的目的：,為了分析系統(tǒng)的性能 。,求取性能指標(biāo)的主要途徑,數(shù)學(xué)模型的圖形表示：,,結(jié)構(gòu)圖,信號(hào)流圖,描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型,狀態(tài)變量描述狀態(tài)方程是這種描述的最基本形式,建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法,實(shí)驗(yàn)法 解析法,,,輸入－輸出描述 微分方程是這種描述的最基本形式。傳遞函數(shù)、方框圖等其它模型均由它而導(dǎo)出,用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟,根據(jù)基本的物理定律，列寫出系統(tǒng)中一個(gè)元件的輸入與輸出的微分方程式,確定系統(tǒng)的輸入量與輸

3、出量，消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式,第一節(jié) 線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的建立一、線性元件單元的微分方程,,圖示電路是由三個(gè)理想電路元件組成的簡(jiǎn)單電網(wǎng)絡(luò)單元，試列寫該網(wǎng)絡(luò)在輸入量 作用下輸出量 的微分方程。,代入 得到,圖為彈簧、質(zhì)量、阻尼器機(jī)械平移運(yùn)動(dòng)單元，試寫出在作用力F(t)作用下質(zhì)量m的位移方程。,,解 彈簧元件對(duì)m產(chǎn)生的阻力與彈性變形成正

4、比；粘性阻尼器對(duì)m產(chǎn)生的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比。 作用在m上的合力滿足牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，即,,圖中L、R分別為電樞回路的總電感和總電阻。假設(shè)勵(lì)磁電流恒定不變，試建立在 作用下電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)方程。,解:,聯(lián)立求解得到,一般地，設(shè)控制系統(tǒng)有如下的微分方程表達(dá)式,零初始條件下的拉氏變換為,傳遞函數(shù)為,將系統(tǒng)輸出量對(duì)于輸入量的微分方程在零初始條件下取拉氏變換，變換后的輸出量象函數(shù)與輸入量象函數(shù)之比定義為控制系統(tǒng)的傳遞

5、函數(shù)。,-p1、- p2…..- pn—為D（s）的n個(gè)根，并稱它們?yōu)镕（s）的極點(diǎn)。由于a1、a2、…都是實(shí)數(shù)，故D(s)所有復(fù)根都成共軛對(duì)出現(xiàn)。,當(dāng)D（s）=0沒有重根時(shí)，上式可展開為,An—待定系數(shù)，稱為F（s）在極點(diǎn)pi處的留數(shù),當(dāng)D(s)=0有r個(gè)重根p1時(shí)，必然還有n-r個(gè)非重根,第二節(jié) 傳遞函數(shù) 一、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),1比例環(huán)節(jié),2 積分環(huán)節(jié),3微分環(huán)節(jié),4一階慣性環(huán)節(jié),5二階環(huán)節(jié),6延遲環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)的

6、定義：在零初始條件下，系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)。,圖 速度控制系統(tǒng),,,ui,R1,,,,,,,,,,,,SM,,TG,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k1,k2,功,放,u2,u1,ua,ω,ωm,ut,c,R2,R1,R1,R,+,具有負(fù)反饋的速度給定控制系統(tǒng)原理圖,傳遞函數(shù)與結(jié)構(gòu)圖,Φ(s),,,,R(s),

7、C(c),R(s)?Φ(s)=C(s),,繪制雙T網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖1,,,,,,,,,,,,,,,R1,R2,C1,C2,ur(t),uc(t),I(s),I1(s),I2(s) = I(s) – I1(s),I1(s) = [Uc(s)+I2(s)?R2]?SC1,Ur(s),Uc(s),,,,,,,I1(s),,,I (s),,,,,I2(s),,,,,,,,I2(s),繪制雙T網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖2,I(s) = I1(s)+ I2(s),,,,

8、,這是不行的,,,,,,,,,,,,,,,,I2(s),圖1圖2比較,題1,繪制動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖,,輸出,,輸入,,擾動(dòng),傳遞函數(shù)的性質(zhì),傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號(hào)的大小和形式無關(guān) 傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng) 傳遞函數(shù)為復(fù)變量S的有理分式，它的分母多項(xiàng)式S的最高階次n總是大于或等于其分子多項(xiàng)式D的最高階次m，即n≥m 傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程 一個(gè)傳遞函數(shù)是由相應(yīng)的零、極點(diǎn)組成

9、 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出的關(guān)系，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性,,,,,,,,,R1,R2,,Ur(s),Uc(s),I1(s),I2(s),U1(s),,,,,,,,,,補(bǔ)充習(xí)題,繪制圖示電路的結(jié)構(gòu)圖,習(xí)題,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,–,30k,20k,10k,10k,10k,10k,ui,ua,uo,ut,u2,u1,位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖,習(xí)題 方塊圖,K0=30v/330o=1/11

10、(伏/度)=5.21(伏/弧度),K1=3 k2=2,α=1+Rf/Ri=1+20/10=3,,,ua,ut,u2,u1,,,,,,,,,,,,,,,,,,uo,,,ui,二、傳遞函數(shù)的簡(jiǎn)化,原則：等效變換,結(jié)構(gòu)圖三種基本形式,串 聯(lián),并 聯(lián),反 饋,基本形式,,,,G2,,1,,,,,,,結(jié)構(gòu)圖等效變換方法,,G1,,,,,,G2,,G3,,H1,,,,,,,,,,,,,錯(cuò)！,,,,,,,,,無用功,G2,,,,,向

11、同類移動(dòng),綜合點(diǎn)移動(dòng),G1,,,,,,,,,,引出點(diǎn)移動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,G1,G2,G3,G4,H3,H2,H1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,b,,,,,,,,請(qǐng)你寫出結(jié)果,行嗎？,,作用分解,,,,,,,,,,,,,,信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)和性質(zhì),1）節(jié)點(diǎn)—代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。2）支路—信號(hào)在支路上按箭頭的指向由一個(gè)節(jié)點(diǎn)流向另一個(gè)節(jié)點(diǎn)3）輸

12、入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)—相當(dāng)于自變量，它只有輸出 支路。4）輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)—它是只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變。5）通路—沿著支路的箭頭方向穿過各相連支路的途徑，稱為通路 開通路—通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次 閉通路—通路的終點(diǎn)也是通路的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交 不多于一次6）前向通路—從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，此通路自然保護(hù)區(qū)為前向通路7）回路—就是閉環(huán)通路8）不接觸回路—批一些回路

13、間沒有任何公共節(jié)點(diǎn) 9）前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘積。10）回路增益—回路中多支路增益的乘積。,（1） 信號(hào)流圖的定義,它是表示控制系統(tǒng)各變量間相互關(guān)系、以及信號(hào)流通過程的另一種圖示。,（2） 信號(hào)流圖的結(jié)構(gòu),信號(hào)流圖,是一種表達(dá)線性代數(shù)方程組結(jié)構(gòu)的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò) 。,節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量（信號(hào)），在圖中用小圓圈表示；,支路是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段，它有一定的增益（包括傳遞函數(shù)），稱為支路增益，在圖中應(yīng)標(biāo)記在相應(yīng)的線段旁。

14、,注、信號(hào)只能在支路上沿箭頭方向傳遞，經(jīng)支路傳遞的信號(hào)應(yīng)乘以支路增益。,（3） 信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ),輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）,輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）,輸出節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）,源節(jié)點(diǎn)（或輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路，而沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。 源節(jié)點(diǎn)一般表示系統(tǒng)的輸入量，X1 、X5就是輸入節(jié)點(diǎn)。,阱節(jié)點(diǎn)（或輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路，而沒有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。 阱節(jié)點(diǎn)

15、一般表示系統(tǒng)的輸出量， X4就是輸出節(jié)點(diǎn)。,混節(jié)點(diǎn)：即有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如，X2、X3節(jié)點(diǎn)均為混節(jié)點(diǎn),回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號(hào)通過任意節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路,前向通道:信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱為前向通道總增益，一般用Pk表示,,描述四個(gè)變量的一組線性代數(shù)方程為：,圖為有四個(gè)節(jié)點(diǎn)和六條支路的典型信號(hào)流圖。,（4） 信號(hào)流圖的優(yōu)點(diǎn)：,求系統(tǒng)

16、的傳遞函數(shù)時(shí)，不必進(jìn)行預(yù)先的等效簡(jiǎn)化，而應(yīng)用計(jì)算公式即可得到傳遞函數(shù)。這對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)來說比方框圖更為方便。,注意、某個(gè)節(jié)點(diǎn)變量表示所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和,(5) 信號(hào)流圖的基本性質(zhì),節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量。,信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞。,支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。,對(duì)于給定的系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此信號(hào)流圖不是唯一的。,某個(gè)節(jié)點(diǎn)變量表示所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和,后一節(jié)點(diǎn)變量依賴于前一節(jié)點(diǎn)變量

17、，而沒有相反的關(guān)系，即只有“前因后果”的因果關(guān)系,1）由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖步驟,（6） 信號(hào)流圖的繪制,首先應(yīng)通過拉氏變換，把微分方程變換為s的代數(shù)方程；,然后，對(duì)系統(tǒng)的每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)，按照實(shí)際系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系從左到右順序排列；,最后，根據(jù)代數(shù)方程。用表明支路增益的支路將各節(jié)點(diǎn)連接起來，便可得完整的信號(hào)流圖。,2)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)繪制信號(hào)流圖步驟,首先把結(jié)構(gòu)圖中的輸入量取為源節(jié)點(diǎn)，輸出量取為阱節(jié)點(diǎn)；,其次用小圓圈在結(jié)構(gòu)圖的信號(hào)

18、線上標(biāo)志出傳遞的信號(hào)，便是節(jié)點(diǎn)。,最后用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，便得到支路。,注.由于信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)只表示變量的相加，因此結(jié)構(gòu)圖中負(fù)反饋通路的傳遞函數(shù)在信號(hào)圖中要用負(fù)支路增益來表示。,例.,,,,,,,,,,,,,例. 試?yán)L制如圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,R(s),C(s),,,,,,,,,,,,,,e,e1,e2,,,,,,,,,,,,,,,,,Pk—從R(s)到C(s)的第k

19、條前向通路傳遞函數(shù),梅遜公式介紹 R-C,:,△=,其中:,—,,—所有單獨(dú)回路增益之和,∑LA,∑LBLC,∑LDLELF,△k求法:,- ∑LA,+ ∑LBLC,-∑LDLELF+…,1,△k=1-∑La+ ∑LbLc- ∑LdLeLf+…,—所有兩兩互不接觸回路增益乘積之和,—所有三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和,,,,梅遜公式例R-C,,L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 ),L1= G1H1,L2= –G2H2,L3=

20、–G1G2H3,,,,,G1(s),G3(s),H1(s),G2(s),H3(s),H2(s),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,E(S),,,C(s)=,1,,G3G2,+G1G2,+ G2,R(s)[ ],N(s),梅遜公式求C(s),(1-G1H1),+ G2H2,+ G1G2H3,- G1H1G2 H2,- G1H1,（1-G1H1）,,P1=

21、1,△1=1+G2H2,P1△1= ?,E(s)=,,(–G2H3),R(s)[ ],N(s),(1+G2H2),(- G3G2H3),+,+,,,P2= - G3G2H3,△2= 1,P2△2=?,,梅遜公式求E(s),P1= –G2H3,△1= 1,,e,,,,,,,,,,,,,,,1,a,b,c,d,f,g,h,,C(s),R(s),,C(s),R(s),,