概率論習(xí)題課

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課1,,例1 設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A-B)= [ C ],A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB),C. P(A)-P(AB) D. P(A)-P( )+P( ),解 因A-B=A-AB,又AB A, 故 p(A-B)=P(A)-P(AB),又P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB) P(A)+P(B)-1,,例2

2、設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則下列式子正確的是[ B ],解 由已知AB C,則P(C) P(AB),A. P(C) P(A)+P(B)-1,B. P(C) P(A)+P(B)-1,C. P(C)=P(AB),D. P(C)=P(AUB),例3 設(shè),則下列結(jié)論正確的是[ D ],A. 事件A與B互不相容 B.事件A與B相互對立,C. 事件A與B不相互獨(dú)立 B.事

3、件A與B相互獨(dú)立,解 由 ，得,即 從而,P(AB)[1-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B),即 P(AB)=P(A)P(B),例4 設(shè)隨機(jī)事件A,B及事件AUB的概率分別是,0.4，0.3和0.6，那么 0.3,,解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0

4、.6,得 P(AB)=0.4+0.3-0.6=0.1,故,例5 甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，,其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是甲射中的概率為 0.75,,解 設(shè)A表示“甲射擊一次命中目標(biāo)”,B表示“乙射擊一次命中目標(biāo)”,要求概率為,例6 某電子元件的壽命X的概率密度為(單位：h),裝有5個(gè)這種電子元件的系統(tǒng)在使用的前1500h,內(nèi)正好有2個(gè)元件需要更換的概率是 [ C ],

5、解 每個(gè)元件在1500h內(nèi)損壞的概率為,設(shè)Y表示5個(gè)元件中需要更換的元件個(gè)數(shù)，則,,所求概率為,例7 設(shè)隨機(jī)變量 且,則必有 [ A ],解 因?yàn)?所以,例8 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,若k使得,則k的取值范圍是 [1，3],,解 若,若,若,所以k的取值范圍是[1，3],例9 如圖平面區(qū)域D由曲線,及直線,,所圍成，二維隨即變量（X

6、,Y）服從,在 處的值為 1/4,,,,,,,,,,,,,解: 區(qū)域D的面積為,所以（X,Y）的聯(lián)合概率密度為,均勻分布，則（X,Y）關(guān)于,X的邊緣概率密度,（X,Y）關(guān)于X的邊緣概率密度為,故,例10 設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且,則,,5/7,解,例11 設(shè)隨機(jī)變量X與Y 相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間 上的均勻分布，則 1/9,,解,例12 設(shè)D(X

7、)=4,D(Y)=9, ,則,D(3X-2Y)=,,解：,例13 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，其中,服從[0,6]上的均勻分布，,記 則D(Y)=,,解：,例14 設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的考生的報(bào)名表分別是10份，15份，和25份，其中女生的報(bào)名表分別是3份，7份和15份，隨機(jī)地取出一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽

8、出兩份：,（1）先抽到的一份是女生表的概率（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率,（3）已知先抽到的一份是女生表，后抽到的一份是男生表的條件下，他們是來自第二個(gè)考區(qū)的概率,解 設(shè) ={報(bào)名表是第i個(gè)考區(qū)的} i=1,2,3,={第j次抽到的報(bào)名表示男生表} j=1,2,(1),(2) 由于抽簽與順序無關(guān)，故,(3) 由貝葉斯公式,,,例15 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,(1) 求常數(shù)A

9、 (2) 求X的分布函數(shù),(3) 在n此獨(dú)立觀察中，求X的值至少有一次,小于0.5的概率 (4) 求 的概率密度,解,（1）,（2）當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,所以,(3),令Z表示n次獨(dú)立觀察中{X<0.5}出現(xiàn)的次數(shù)，則 ,則所求概率為,(4),單增，其反函數(shù)為,例16 二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為,（

10、1）試確定常數(shù)A；（2）求（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；（4）判斷X和Y是否獨(dú)立？（5）求z=X+Y的密度函數(shù)；（6）求,解 （1）由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)得,,,,,,,,,,故,（2）當(dāng) 或 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,,,,,,,,,,,當(dāng) 時(shí)，,,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng)

11、 時(shí)，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,所以（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為：,（3）,（4）由于當(dāng) 時(shí)，,所以X與Y不相互獨(dú)立.,（5） 由兩個(gè)隨機(jī)變量和的密度函數(shù)公式,,,,,,,,,,,,,,x,z,0,1,1,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,于是Z=X+Y的概率

12、密度函數(shù)為,（6）,例17 設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為,的泊松分布，每位乘客在中途下車,的概率為,，且中途下車與否相互,獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：,（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m個(gè),下車的概率；,(2) 二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律；,（3）求關(guān)于Y的邊緣分布律.,解 （1）,（2）（X,Y）的聯(lián)合分布律為,（3）,例18 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱