彈性力學(xué)-邊界條件

1、對(duì)于上述所談及的兩種平面問(wèn)題：平衡方程（2~2） ——2個(gè)幾何方程（2~8） ——3個(gè)物理方程（2~12）——3個(gè),注:雖然八個(gè)方程可解八個(gè)未知函數(shù),但由于求解時(shí)會(huì)產(chǎn)生待定函數(shù)(常數(shù));所以要想得出具體的解答還必需利用邊界條件來(lái)確定待定函數(shù)。邊界條件有三類：位移、應(yīng)力、混合邊界條件,§2－6.邊界條件,在位移邊界問(wèn)題中，物體在全部邊界上的位移分量是已知的，即：式中： 　　　　　 —是位移的

2、邊界值； 　　 — 邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)或邊界上已知的位移分量。,二、應(yīng)力邊界條件邊界上面力分量為已知。建立邊界上微元體的應(yīng)力分量與面力分量的關(guān)系,一.位移邊界條件,二、應(yīng)力邊界條件在邊界上的楔形體（單位厚度）如圖所示：,彈性體內(nèi)單元體斜面上的應(yīng)力分量與坐標(biāo)面應(yīng)力的關(guān)系有(靜力平衡),單元體斜面恰為邊界面則面力分量與坐標(biāo)面應(yīng)力的關(guān)系有應(yīng)力邊界條件,注意：以上在推導(dǎo)時(shí)，斜面上的應(yīng)力px,py采用矢

3、量符號(hào)規(guī)定－與面力相同。,特例--邊界面與坐標(biāo)軸平行時(shí),(1).左右兩面,(2).上下兩面,應(yīng)力邊界條件的寫法是：左端為邊界上微元體的應(yīng)力分量；右端為面力分量?？梢愿髯圆捎酶髯缘姆?hào)規(guī)定。但需要用邊界的方向余弦,邊界面于坐標(biāo)軸平行時(shí)的簡(jiǎn)單寫法:每個(gè)邊界條件只含有一個(gè)應(yīng)力分量(l=0 or m=0)邊界上的面力按應(yīng)力分量的符號(hào)規(guī)定，不考慮l,m,,,圖中的面力采用矢量符號(hào)規(guī)則,三、混合邊界條件　 1、在一部分邊界上的位移分量為已

4、知，另一部分邊界上應(yīng)力分量已知。 2、在同一邊界上，已知一個(gè)位移分量和一個(gè)應(yīng)力分量。,例1：小錐度桿承受軸向拉力。利用邊界條件證明，橫截面上，除正應(yīng)力 外，還有剪應(yīng)力 。并確定邊界上 、 與 的關(guān)系。(假設(shè)任何界面上y方向的正應(yīng)力均勻分布),解：,由,,,[例] 寫出應(yīng)力邊界條件。設(shè)液體比重為?,解：1）右邊界（x=0）,,2）左邊界（x=y

5、15;tg?）,,,,,O,x,y,,,,,,,,,,,,,,y,?y,,?,,n,,由：,,?,唯一性定理,表述－1：在沒(méi)有初始應(yīng)力的情況下，如果邊界條件足以確定全部剛體位移，則彈性力學(xué)邊值問(wèn)題的解答是唯一的。表述－2：在沒(méi)有初始應(yīng)力的情況下，彈性力學(xué)邊值問(wèn)題的解在相差一組剛體位移的意義下是唯一的。證明概要：只要證明在體力和面力都為零的情況下，邊值問(wèn)題只可能有零解(應(yīng)力、應(yīng)變和位移全為零)。后者則需要用到應(yīng)變能的概念。據(jù)此，任何

6、一組應(yīng)力應(yīng)變和位移，如果它們確能滿滿足方程和邊界條件，就肯定是該問(wèn)題的解。,疊加原理,疊加原理：兩組外力同時(shí)作用在物體上所產(chǎn)生的結(jié)果等于他們分別作用產(chǎn)生的結(jié)果之和。證明概要：只需注意方程都是線性的，同時(shí)邊界條件也是線性的即可。推廣：以上兩組外力可以推廣到n組外力。分解原理：根據(jù)疊加原理，可以把原問(wèn)題分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題單獨(dú)求解。,§2-7.圣維南原理(局部性原理),一.圣維南原理的敘述,描述－1、如果把物體的一小部分邊界

7、上的面力以等效力系（主矢及主矩均為相同）代換，則在加載附近的的應(yīng)力發(fā)生顯著變化，而在稍遠(yuǎn)處的影響可忽略不計(jì)，亦即與載荷在邊界上的作用形式無(wú)關(guān)。描述－2、如果物體在一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢及主矩均為零），則面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，遠(yuǎn)處的應(yīng)力可忽略不計(jì)。,二. 圣維南原理的應(yīng)用條件,1、必須用等效力系代替。2、載荷區(qū)域必須比物體的最小尺寸為?。ㄐ∵吔缟?,舉例,圣維南原理的應(yīng)用,所得到的應(yīng)力分量必須在所有邊界上各

8、點(diǎn)處嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件，才是所論問(wèn)題的解答。在小邊界上，如果不能嚴(yán)格滿足邊界條件，可以用圣維南原理在靜力等效意義上滿足(積分意義上的)邊界條件。根據(jù)這個(gè)原理：兩組面力其分布盡管不同，但如果兩者的合力與合力矩相同(靜力等效)，此時(shí)它們所產(chǎn)生的作用結(jié)果僅僅在局部有比較大的差異，遠(yuǎn)離這個(gè)局部，結(jié)果基本相同。,靜力等效邊界條件：,對(duì)于嚴(yán)格要求的條件在局部放松,線性分布的邊界力所形成的力偶等于M,由材力彎曲公式：,嚴(yán)格面力,嚴(yán)格邊界條件,

9、只有在右端彎矩是由線性分布的外力引起時(shí)，材料力學(xué)的公式才在右端附近嚴(yán)格成立。,邊界的積分式,自由端邊界條件：,懸臂梁的例子：,則邊界條件可以寫成(P.23 (b))：,根據(jù)圣維南原理，把給出的面力化成合力和合力矩,用積分表達(dá)的邊界條件,對(duì)邊界條件的積分為： (P.23 (b))：,根據(jù)圣維南原理，同時(shí)還要考慮等效力矩：,懸臂梁的例子：,平面應(yīng)力問(wèn)題,平面應(yīng)變問(wèn)題,一. 平面問(wèn)題基本未知量,1、應(yīng)力分量,（3個(gè)）,獨(dú)立的（3個(gè)）,2、應(yīng)變