幾何作圖三大難題與

1、幾何作圖三大難題與 三種幾何漫談,幾何作圖三大難題,,一家人,化圓為方,三等分角,zwj@szu.edu.cn,（公元前5世紀——1882年）,幾何學起源：古代中國和古埃及。古希臘幾何：公元前七世紀， “希臘七賢”之一的“希臘科學之父”泰勒斯到埃及經(jīng)商，掌握了埃及幾何并傳回希臘。,詭辯學派與幾何作圖,歐幾里得,詭辯（智人）學派與幾何作圖問題： 公元前六世紀到五世紀，以芝諾（Zenon, 約公元前490---前429

2、）為領(lǐng)袖的詭辯學派，以注重邏輯性而著稱，他們主要研究幾何作圖問題。,為何研究作圖問題,主要目的:培養(yǎng)與鍛煉人的邏輯思維能力，提高智力.作圖方式：限定作圖工具：直尺（無刻度）和圓規(guī)限定作圖時間：必須在有限步內(nèi)完成遺留難題：化圓為方 倍立方體 三等分角,1. “化圓為方”——一個囚徒的冥想,公元前5世紀，古希臘數(shù)學家、哲學家安納薩格拉斯（Anaxagoras, 約公元前500—428年）在研究天體過程中發(fā)現(xiàn)，太陽

3、是個大火球，而不是所謂的阿波羅神。,分明是一個大火球，哪里是什么神呀？,由于這一發(fā)現(xiàn)有背宗教教意，安納薩格拉斯被控犯下“褻瀆神靈罪”而被投入監(jiān)獄，并判處死刑。在監(jiān)獄里，安納薩格拉斯對自己的遭遇憤憤不平，夜不能眠。,,夜深了，月光透過正方形的鐵窗照進牢房，安納薩格拉斯不斷地變換觀察圓月的方位，一會兒看見圓月比方窗大，一會兒看見方窗比圓月大。最后他說：“算了，就算兩個圖形的面積一樣大好了?！?=,于是，他把求作一個正方形，其面積等于已

4、知圓的面積作為一個問題進行研究。,,求作一個正方形，其面積等于已知圓的面積,這就是化圓為方問題,該問題直到1882年才被德國數(shù)學家林德曼（C.L.F. Lindemann，1852——1939）證明為不可能。,2. 瘟疫、祭壇與“倍立方體問題”,公元前429年，希臘首府雅典發(fā)生了一場大的瘟疫，居民死去四分之一，希臘的統(tǒng)治者裴里克里斯也因此而死。雅典人派代表到第羅（Delos）的太陽神廟祈求阿波羅神，詢問如何才能免除災難。一個巫師轉(zhuǎn)達

5、阿波羅神的諭示：由于阿波羅神神殿前的祭壇太小，阿波羅神覺得人們對他不夠虔誠，才降下這場瘟疫，只有將這個祭壇體積放大成兩倍，才能免除災難。,,,×2=,居民們覺得神的要求并不難做到。因為他們認為，祭壇是立方體形狀的，只要將原祭壇的每條邊長延長一倍，新的祭壇體積就是原祭壇體積的兩倍了。,?,于是，人們按照這個方案建造了一個大祭壇放在阿波羅神的神殿前，但是，這樣一來，瘟疫不但沒有停止，反而更加流行。居民們再次來到神廟，講明緣由，巫師

6、說道：“他要求你們做一個體積是原來祭壇兩倍的祭壇，你們卻造出了一個體積為原祭壇8倍的祭壇，分明是在抗拒他的旨意，阿波羅神發(fā)怒了。”,居民們明白了問題所在，但是，他們絞盡腦汁，卻也始終找不到建造的方法。他們請教當時的有名數(shù)學家，數(shù)學家也毫無辦法，這個問題就作為一個幾何難題流傳了下來。,這就是著名的“倍立方體問題”，又叫“第羅問題”：,求作一個正方體，其體積等于已知正方體體積的兩倍,該問題直到1837年才由萬鍥爾（P.L. Wantzel

7、, 1814--1848）給出否定的答案。,3. 公主的別墅與“三等分角問題”,公元前4世紀，托勒密一世定都亞歷山大城。亞歷山大城郊有一片圓形的別墅區(qū)，圓心處是一位美麗的公主的居室。別墅區(qū)中間有一條東西方向的河流將別墅區(qū)劃分兩半，河流上建有一座小橋，別墅區(qū)的南北圍墻各修建一個大門。這片別墅建造的非常特別，兩大門與小橋恰好在一條直線上，而且從北門到小橋與從北門到公主的居室距離相等。,過了幾年，公主的妹妹小公主長大了，國王也要為小公主修建一

8、片別墅，小公主提出她的別墅要修建的向姐姐的一樣，有河、有橋、有南門、北門，國王答應了。,,,H公主居室,小公主的別墅很快就動工了，但是，當建好南門，確定北門和小橋的位置時，卻犯了難。如何才能保證北門、小橋、南門在一條直線上，并且，北門到居室和小橋的距離相等呢？,,,H公主居室,要確定北門和小橋的位置，關(guān)鍵是算出夾角 。記a 為南門S與居室H連線SH與河流之間的夾角，則通過幾何知識可以算出,,,H公主居室,,a,

9、?,這相當于 求作一個角，等于已知角的三分之一,也就是三等分一個任意角的問題。工匠們試圖用尺規(guī)作圖法定出橋的位置，卻始終未能成功。,這個問題流傳下來，直到1837年才由萬鍥爾給出否定的答案。,這就是著名的“三等分任意角”問題,求作一個角，等于已知角的三分之一,直尺和圓規(guī)能做什么？,作圖工具——直尺和圓規(guī)能做什么？直觀地看：（1）通過兩點作直線；（2）以已知點為圓心，已知線段為半徑作圓；（3）定出兩條已知非平行直線的交點；

10、（4）定出兩個已知圓的交點；（5）定出已知直線與已知圓的交點。,深入地看： 17世紀數(shù)學家笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何知識，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題研究，從而也為解決三大難題提供了有效的工具。,笛卡爾,1837年數(shù)學家萬鍥爾（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到：直線方程是（一次）線性的，而圓的方程是二次的。通過上述五種手段所能做出的交點問題，轉(zhuǎn)化為求一次與二次方程組的解的問題。,簡單的代數(shù)知識告訴我們：通過直尺與圓

11、規(guī)所能做出的只能是已知線段（長度）的和、差、積、商以及開平方的有限次組合。,三大作圖問題要作什么？（1）“倍立方體” ，要作出數(shù)值,三大作圖問題的不可能性,（2）“化圓為方” ，要作出數(shù)值,（3）“三等分角”，如果記a = cosA, 要作出角度A/3, 也必作出相應的余弦值x = cos(A/3), 由三倍角公式，此值x是方程 的解。,三大作圖問題是不可能的（1）“倍立方體”

12、 ，要作出數(shù)值 ， “三等分角”，要作出是三次方程 的解。1837年萬鍥爾證明，這兩個問題都是用直尺和圓規(guī)不能作出的。,（2）“化圓為方” ，要作出數(shù)值 ，1882年德國數(shù)學家林德曼（C.L.F. Lindemann，1852——1939）證明了?是超越數(shù)，隨即解決了“化圓為方”問題的不可能性。,生活中：“不可能”=“未解決”,在日常生活中，我們許多情況下所指的“不可能”，意味

13、著在現(xiàn)有條件或能力下是無法解決的，是不可能的，它會隨著歷史的發(fā)展由不可能變?yōu)榭赡堋＿@里的“不可能”等于“未解決”。比如，在沒有發(fā)明電話之前，一個人在香港講話，在深圳的人們不可能聽到；在沒有飛機之前，要在3小時內(nèi)從香港到達北京也是不可能的，如今這些都已成為可能。,數(shù)學中：“不可能”?“未解決”,但是，數(shù)學中所說的“不可能”與“未解決”具有完全不同的含義。所謂“不可能”是指，經(jīng)過科學論證被證實在給定條件下永遠是不可能的，它不會因時間的推移

14、、社會的發(fā)展而發(fā)生改變。而“未解決”則表示目前尚不清楚答案，有待于進一步研究的。,打一個形象的比喻：“到木星上去”是一個未解決的問題，您可以去研究解決的辦法；但“步行到木星上去”則是一個不可能的事情，如果有人再去一門心思研究這個問題就會成為笑話。,其前提是尺規(guī)作圖。如果不限于尺規(guī)，它就會成為可能，目前已知的方法就有好幾種。“三等分角問題”除了尺規(guī)要求外，還有一點常被人忽略，那就是三等分的是“任意角”，對于某些具體的角度，比如9

15、0?，它就是可能的。,幾何三大作圖難題是已經(jīng)解決了的，結(jié)論為“不可能”。,三種幾何并存,幾何學的課題就是去研究、理解空間的本質(zhì)。它是我們認識大自然、理解大自然的自然起點和基石所在；也是整個自然科學的啟蒙者和奠基者；是種種科學思想和方法論的自然發(fā)祥地。,不論在自然科學的發(fā)展順序上，還在全局的基本重要性上，幾何學都是當之無愧的先行者與奠基者，是理所當然的第一科學。,自古到今，幾何學的研究在方法論上大體可以劃分成下述幾個階段： (1) 實驗

16、幾何：用歸納實驗去發(fā)現(xiàn)空間之本質(zhì)。（古代中國、古埃及） (2) 推理幾何：以實驗幾何之所得為基礎，改用演譯法，以邏輯推理去探索新知，并對于已知的各種各樣空間的本質(zhì)，精益求精地作系統(tǒng)化和深刻的分析。在這方面，古希臘文明獲得了輝煌的成就，它也是全人類理性文明中的重大篇章。（古希臘）,泰勒斯 (米利都的 ) (Thales of Miletus)}約公元前 625 年生于伊奧尼亞的米利都﹐約公元前 547年卒。自然哲學、數(shù)學、天文學。,畢

17、達哥拉斯(Pythagoras)，約公元前 560 年生于莎莫斯島；約公元前 480 年卒于梅塔蓬圖姆；精通哲學、數(shù)學、天文學、音樂理論,歐幾里得（Euclid, 約公元前330---前275年）是古希臘亞歷山大里亞時期的著名數(shù)學家。,(3) 坐標解析幾何：笛卡兒 (Descartes) 和費馬(Fermat) 通過建立坐標系，把數(shù)學中的兩大主角——幾何學和代數(shù)學——簡明而有力地結(jié)合起來，開創(chuàng)了近代數(shù)學的先河。其自然而然的結(jié)果是微積分的

18、產(chǎn)生和大量地運用解析法研討自然現(xiàn)象。 （法國）,費馬﹐ P. de (Fermat, Pierre de) 1601年 8 月 20 日生于法國南部圖盧茲附近的博蒙 --- 德 - 洛馬涅(Beaumont-de-Lomagne)； 1665 年 1 月 12 日卒于法國卡斯特爾 (Castres)。 數(shù)學。,笛卡兒 (Descartes, Ren'e) 1596 年 3 月 31 日生于法國圖賴訥 (Touraine)省拉艾

19、(La Haye)鎮(zhèn) (現(xiàn)名拉艾--笛卡兒鎮(zhèn) )； 1650 年 2 月 11 日卒于瑞典斯德哥爾摩。 科學方法﹑自然哲學﹑數(shù)學﹑物理學﹑生理學。,（4）向量幾何：向量幾何在本質(zhì)上乃是坐標解析幾何的返璞歸真，它的最大優(yōu)越性在于向量運算的正交不變性 (orthogonal invariance)?？梢哉f，向量幾何乃是不依賴于坐標系的解析幾何 (coordinate-free analytical geometry)，它自然而然地化解了原先

20、在坐標解析幾何中，由坐標系的選取所引入的各種各樣（非幾何的）非不變量的困擾！ Hamilton 和 Grassmann 分別是 3-維和高維的向量代數(shù)的創(chuàng)始者。,哈密頓 (Hamilton﹐William Rowan)1805 年 8 月 4 日生于愛爾蘭都柏林；1865年 9 月 2 日卒于都柏林 (Dublin)。力學﹑數(shù)學﹑光學。,格拉斯曼﹐ H.G. (Grassmann﹐Hermann Gunter)，1809 年 4 月1

21、5 日生于德國波美拉尼亞的斯德丁 (今波蘭什切青 )；1877 年9月26日卒于斯德丁。數(shù)學。,歐幾里得——公理化方法的先驅(qū),歐幾里得時期的幾何特點：材料異常豐富；內(nèi)容繁雜、混亂。,歐幾里得的創(chuàng)造——《幾何原本》 ：工作： 篩選定義，選擇公理，合理編排內(nèi)容，精心組織方法。意義： 奠定了數(shù)學的公理化思想：即從幾個概念和幾個公理出發(fā)，演繹出本學科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學科的全貌。運用這種方法的

22、學科被認為是嚴謹?shù)目茖W和成熟的科學。,《幾何原本》的背景,泰勒斯（開始了命題證明）,柏拉圖（成立柏拉圖學園）,歐幾里得（撰寫《幾何原本》）,阿基米得（計算圓周率、球體體積等）,《幾何原本》的流傳,亞歷山大圖書館第二次遭焚毀,《幾何原本》傳入中國,亞歷山大圖書館第三次遭焚毀,出現(xiàn)《幾何原本》拉丁文印刷版,《幾何原本》被譯成拉丁文,《幾何原本》被譯成阿拉伯文,幾何原本——數(shù)學的圣經(jīng),《幾何原本》(Element)問世后，馬上吸引了人們的注意

23、力，其影響力超過了其它任何一部科學著作。從1482年最早一本印刷本問世，至今已有一千多種版本，其流傳之廣泛、影響之久遠，是僅次于《圣經(jīng)》的第二大書。,《幾何原本》共分15卷，1、2、3、4、6各卷為平面幾何，5卷為比例圖形，7、8、9卷為算術(shù)，10卷為直線上的點，11---15卷為立體幾何。徐光啟（1562—1633）和意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci ，1552---1610）于明朝1607年翻譯出前6卷；李善蘭(18

24、11—1882)和英國傳教士偉烈亞力(A. Wylie, 1815—1887)于清朝1857年翻譯出后9卷。,20世紀的英譯本,九章出版的中譯本,《幾何原本》的內(nèi)容：《幾何原本》共有23個基本定義，5個公設，5個公理和465個命題組成。由于公理和公設都是不證自明的真理，只是適用范圍有所區(qū)分，后統(tǒng)稱為公理。,四種根本性的概念：1. 定義——幾何學中所用的字的意義。如：點、線、面、體、直角、垂直、銳角、鈍角、平行線等。2. 公理——

25、適用于一切科學的不證自明的真理。如：若a=c, b=c, 則a=b3. 公設——適用于幾何學的不證自明的真理。如：所有直角彼此相等,4.  命題——包括定理和作圖題。定理是指能夠根據(jù)假定條件、公理、公設和定義利用邏輯推理得到的結(jié)論；作圖題是指由已知的幾何學對象找出或作出所求的對象。,公理系統(tǒng),定義,公理、公設,命題,定義,命題,定義,命題,,,,,,,,命題,,,命題,五條公理1. 跟同一件東西相等的東西，它們彼此也是相

26、等的；2. 等量加等量，總量仍相等；3. 等量減等量，余量仍相等；4. 彼此重合的東西是相等的；5. 整體大于部分。,五條公設,1. 點到另外一點作直線是可能的；,,,,五條公設,2. 有限直線不斷沿直線延長是可能的；,,,,五條公設,3. 以任一點為中心和任一距離為半徑作一圓是可能的；,,,,,,五條公設,4. 所有直角彼此相等；,,,B,A,C,D,五條公設,5. 如果一直線與兩直線相交，且同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩

27、直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點。,,,,,a,b,a + b < 180?,,?1,?2,,,?,,第五條公設等價于平行公理：過直線外一點可以作唯一一條直線與之平行。,,,,第五公設的疑問,歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》中，在其之后的2200后，希爾伯特在《幾何基礎》加以完善。其間，許多數(shù)學家作了許多公理體系的完備性工作。,在歐氏幾何體系中，作為其基石的五個公理以及五個公設中的前4個都是容易被認同的。但是，對于

28、第五公設，卻沒有那么簡單明了，它很像一條定理，而且很少被使用，因為人們發(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。于是，《幾何原本》一問世，人們很快就希望能夠消除這種困惑。,人們主要從三個方面研究平行公理。試圖給出新的平行線定義以繞開這個困難；試圖用比平行公理缺點更少的其他公理取代它；（等價或包含）；用其它9個公理或公設去證明它！,在進行第二項工作的研究中，人們發(fā)現(xiàn)了許多與第五公設等價的命題，證明其一便相當于證明了第五公設。比如：

29、平行公理：過直線外一點可以作唯一一條直線與之平行； 三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180度。,第三項問題得到的研究最多，人們?yōu)榇伺α藘汕Ф嗄?，花費了無數(shù)數(shù)學家的心血，但終究沒有成功。,19世紀，德國數(shù)學家高斯（Gauss, C. F., 1777--1855）、俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基（Ποбаyeвский Н. И.，1793---1856）和德國數(shù)學家黎曼（G. B. Riemann,1826--1866）等人，在用反證法

30、研究第三項問題時，試圖推出矛盾，但卻沒有。即，假設第五公理不成立，結(jié)果并不會出現(xiàn)矛盾！于是他們頓悟：推翻第五公設！從而導致了非歐幾何的產(chǎn)生。,高斯被譽為非歐幾何的先驅(qū);羅巴切夫斯基被冠以幾何學上的哥白尼;黎曼是一個極富天分的多產(chǎn)數(shù)學家，在他短暫的一生中，他在許多領(lǐng)域?qū)懗隽嗽S多有名論文，對數(shù)學的發(fā)展做出了重要貢獻，影響了19世紀后半期數(shù)學發(fā)展，黎曼幾何僅是他的成就之一。,高斯——非歐幾何的萌芽,德國數(shù)學家高斯（Gauss, C. F

31、., 1777--1855）是最早認識到可以否定第五公設的人。,1792年開始思考第五公設問題。1794年，發(fā)現(xiàn)非歐幾何的一個事實。1799年起，著手建立這一新幾何。1824年，高斯又在給朋友的信中寫到：,高斯給朋友的信,……三角形內(nèi)角和小于180度，這一假設引出一種特殊的、和我們的幾何完全不相同的幾何。這種幾何自身是完全相容的，當我發(fā)展它的時候，結(jié)果完全令人滿意。……,這一假設相當于把平行公理改換為：,過直線外一點可以做多條直線

32、與之平行,高斯由于顧及自己的名聲，沒有公開發(fā)表他的這種與現(xiàn)實幾何學相悖的新發(fā)現(xiàn)。 正在他猶豫不決之時，一位叫鮑耶（John Bolyai, 1802--1860）的匈牙利少年把這種新幾何提了出來。1832年，鮑耶的論文《關(guān)于一個與歐幾里得平行公設無關(guān)的空間的絕對真實性的學說》作為其父親一部著作《向好學青年介紹純粹數(shù)學原理的嘗試》的附錄出版。,鮑耶 (Bolyai﹐ Janos) 1802 年12月15 日生于匈牙利特蘭尼西瓦亞的科羅

33、日瓦(Kolozsvar)(今羅馬尼亞盧日)；1860 年1 月17 日卒于匈牙利毛羅什瓦薩爾海伊 (今羅馬尼亞特古穆列什)。,老鮑耶 (Bolyai﹐ F) （F. Bolyai1775-1856），鮑耶的父親，高斯的同學，,第一種非歐幾何——羅巴切夫斯基幾何,與高斯、鮑耶大體上同時發(fā)現(xiàn)非歐幾何的另一位數(shù)學家是俄羅斯喀山大學的羅巴切夫斯基（1793---1856）。他從1815年開始研究第五公設問題，1823年，他用命題“過直線

34、外一點可以作兩條直線與之不相交”代替第五公設作為基礎，保留歐氏幾何學的其它公理與公設，經(jīng)過嚴密邏輯推理，逐漸建立了一套全新的古怪的幾何體系。,羅巴切夫斯基(Lobachevskii , Nikolai Ivanovich) 1792 年12 月1 日(俄歷 11 月20 日) 生于俄國下諾夫哥羅德 (今高爾基城)；1856 年2 月14 日卒于俄國喀山。,學術(shù)報告時間：1826年2月11日，地點：喀山大學數(shù)學物理系人物：羅巴切夫斯

35、基題目：《關(guān)于幾何原理的扼要敘述及平行線定理的一個嚴格證明》1826年2月11日這一天，被后人確定為非歐幾何的誕生日。,羅巴切夫斯基的幾何,過直線外一點可以作兩條直線與之不相交,羅巴切夫斯基的幾何,同一直線的垂線和斜線不一定相交。垂直于同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。不存在相似的多邊形。過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。,幾何名稱：虛幾何學想象幾何學泛幾何學羅巴切夫斯基幾何。,第二種非歐幾何

36、——黎曼幾何,1854年，德國另一位數(shù)學家黎曼（Geord Bernhard Riemann,1826--1866）在德國哥廷根大學作了題為《論作為幾何基礎的假設》的報告，發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，并建立了一種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何。羅巴切夫斯基幾何以及歐幾里得幾何都只不過是這種幾何的特例。,黎曼的研究是以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊微分幾何為基礎的。 在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空間，有以下三種

37、情形：曲率恒等于零； 曲率為負常數(shù)；曲率為正常數(shù)。,黎曼指出：前兩種情形分別對應于歐幾里得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對應于另一種非歐幾何學。,黎曼的這種第三種幾何就是是用命題“過直線外一點所作任何直線都與該直線相交”代替第五公設作為前提，保留歐氏幾何學的其它公理與公設，經(jīng)過嚴密邏輯推理，而建立起來的幾何體系。 這種幾何就是如今狹義意義下的黎曼幾何，它是曲率為正常數(shù)的幾何，也就是普通球面上的幾何

38、，又叫球面幾何。 該文于黎曼去世兩年后的1868年發(fā)表。,黎曼可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家。他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。 一般意義下，黎曼幾何泛指黎曼創(chuàng)立的一般的非歐幾何，它包含了羅巴切夫斯基幾何和球面幾何。,黎曼 (Riemann﹐Georg Friedrich Bernhard)1826 年9 月17 日生于德國漢諾威的布雷斯塞倫茨 (Breselenz)；1

39、866 年7 月20 日卒于意大利塞拉斯卡(Selasca)。,黎曼的球面幾何,過直線外一點所作任何直線都與該直線相交,廣義黎曼幾何與相對論,近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。,三種幾何學的

40、適用范圍歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足相容性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是真理。但是三種幾何學又有著相互矛盾的結(jié)論，而真理只有一個，為什么會出現(xiàn)三種矛盾的真理呢？,原來，客觀事物是復雜多樣的，在不同的客觀條件下，會有不同的客觀規(guī)律。三種幾何學的適用范圍是歐氏幾何學——日常小范圍內(nèi)黎曼幾何學——地球上遠距離旅行羅巴切夫斯基幾何學——太

41、空中漫游或原子核世界,三種幾何學的模型三種幾何學各有其適用范圍，也各有其模型。歐幾里得幾何學的模型最容易理解，我們生活的平面和三維現(xiàn)實空間就是很合適的模型。,黎曼幾何學的模型可以用球面來實現(xiàn),對于羅巴切夫斯基幾何，不少數(shù)學家給出過多種不同的模型。第一個模型是由法國數(shù)學家龐斯萊（Poncelet, 1788—1867）給出的。他把圓心位于一條給定直線S上的半圓看作“直線”。顯然，過兩點可以唯一確定一條“直線”，過“直線”外一點可

42、以作多條“直線”與之平行（不相交）。,龐斯萊﹐ J.-V. (Poncelet﹐Jean--Victor)1788 年 7 月1 日生于法國梅斯(Metz)；1867 年 12月22 日卒于巴黎。,第二個模型是1868年意大利數(shù)學家貝爾特拉米（Beltrami, 1835—1899）給出的，他找到了一種所謂的“偽球面”，在偽球面上可以實現(xiàn)羅氏,幾何學的假設。 “偽球面”由平面曳(yè)物線[tractrix]

43、繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周而得。,羅巴切夫斯基平面片上的所有幾何關(guān)系與適當?shù)摹皞吻蛎妗逼系膸缀侮P(guān)系相符合。這使羅巴切夫斯基幾何立刻就有了現(xiàn)實意義。,貝爾特拉米 (Beltrami﹐Eugenio) 1835年11月16 日生于意大利克雷莫納 (Cremona)；1899 年6 月4 日卒于羅馬。,第 三個模型是法國數(shù)學家龐加萊（Jules Herni Poincaré; 1854 – 1912）提出的。在他的模型中，龐加萊將整個羅巴

44、切夫斯基幾何空間投影到平面上一個不包括邊界的圓中，空間中的“直線”，卻由圓內(nèi)的一些圓弧來表示，這些圓弧與所述圓周正交（垂直），如圖中的 l1 和 l2。在這個模型中，我們同樣發(fā)現(xiàn)，三角形的內(nèi)角和亦不會等于 180°。,龐加萊模型,龐加萊 (Poincare﹐Jules Henri)1854年4月 29 日生于法國南錫(Nancy)；1912年 7 月17 日卒于巴黎。數(shù)學﹑物理學﹑天體力學﹑科學哲學。,1870年，德國數(shù)學家克

45、萊因（Klein, 1849—1925）也給出了羅氏幾何的一個模型。,克萊因把歐氏幾何學稱為“拋物幾何”，因為它的直線有一個無窮遠點；把羅氏幾何稱為“雙曲幾何”，因為它的直線有兩個無窮遠點；把黎曼幾何稱為“橢圓幾何”，它的直線沒有無窮遠點。,龐加萊等人用歐幾里得模型對羅巴切夫斯基幾何進行描述。這就使非歐幾何具有了至少與歐幾里得幾何同等的真實性。因為我們可以設想，如果羅巴切夫斯基幾何中存在任何矛盾的話，那么這種矛盾也必然會在歐幾里

46、得幾何中表現(xiàn)出來，也就是說，只要歐幾里得幾何沒有矛盾，那么羅巴切夫斯基幾何也不會有矛盾。至此，非歐幾何作為一種幾何的合法地位才充分建立起來。,不同幾何學下的三角形,三種幾何學都擁有除平行公理以外的歐氏幾何學的所有公理體系，如果不涉及與平行公理有關(guān)內(nèi)容，三種幾何沒有什么區(qū)別。但是只要與平行有關(guān)，三種幾何的結(jié)果就相差甚遠?，F(xiàn)舉出幾例列表對比如下：,三種幾何結(jié)論對比,非歐幾何的產(chǎn)生具有四個重大意義:1. 解決了平行公理的獨立性問題。推動

47、了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進了數(shù)學基礎這一更為深刻的數(shù)學分支的形成與發(fā)展。,1899年，希爾伯特提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即相容性:從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾;獨立性:系統(tǒng)的每條公理都不能是其余公理的邏輯推論;完備性:系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出。,在這樣組織起來的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應的某種幾何。 這樣的做法，不僅給出了已有幾種非歐幾何的統(tǒng)一

48、處理，而且還可以引出新的幾何學。,2. 證明了對公理方法本身的研究能推動數(shù)學的發(fā)展，理性思維和對嚴謹、邏輯和完美的追求，推動了科學，從而推動了社會發(fā)展和進步。 在數(shù)學內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己的公理體系，包括隨機數(shù)學__概率論也在20世紀30年代建立了自己的公理體系。實際上,公理化的研究又孕育了元數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展。,在其它科學中，比如經(jīng)濟學、社會學等，人們也希望用公理化方法建立自己的科學體系。經(jīng)濟學中的謝卜勒 (Sh

49、apley) 公平三原則：原則1：同工同酬原則。原則2：不勞不得原則。原則3：多勞多得原則。,3. 非歐幾何的創(chuàng)立引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。 非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠的影響。在此之前，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對空間觀念。非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外的都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)。非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學的局面。,4. 非歐幾何實際上預示了相對論的產(chǎn)生，就象微積分預示了