對(duì)一道高考題的研究

1、第1頁(yè)共4頁(yè)對(duì)一道高考題的研究2007年全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)第22題是：已知函數(shù)f（x）＝x3－x，（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程；（2）設(shè)a＞0.如果過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y＝f（x）的三條切線，證明－a＜b＜f（a）。本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三次函數(shù)的性質(zhì)。為此，筆者對(duì)三次函數(shù)做了如下研究：設(shè)(不妨令a﹥0)則=c。導(dǎo)函數(shù)為二32()fxaxbxcxd????()fx23ax2bx?次函數(shù)，其判別式為⊿=

2、4﹣122bac一、三次函數(shù)的圖象（1）若⊿≤0，≥0，則函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，其圖象如圖1。()fx()fx（2）若⊿＞0，=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)為、，且＜。則當(dāng)＜()fx1x2x1x2xx或＞時(shí)，＞0；當(dāng)＜＜時(shí)，＜0。故在（∞），1xx2x()fx1xx2x()fx()fx1x（∞）為增函數(shù)，在（）為減函數(shù)。且在=時(shí)取得極大值，在=2x1x2xx1x1()fxx時(shí)取得極小值。其圖象如圖2。2x2()fx二、三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)由

3、三次函數(shù)的圖象易知=0的實(shí)根個(gè)數(shù)如下：()fx()fx第3頁(yè)共4頁(yè)所以的原函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其中=（()fx2qpm???????2qp?00()(2)2fxfmx??為定義域內(nèi)任一個(gè)值）。特別地，當(dāng)=0時(shí)，=.0x0x2qp?(0)(2)2ffm?由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=2bc為二次函數(shù)，32()fxaxbxcxd????()fx23axx其對(duì)稱軸為=，所以三次函數(shù)的對(duì)稱中心為。x3ba?()fx2(0)()332bffbaa???????

4、??????又因?yàn)?2(0)()32bffa??322223332bbbdabcdaaa?????????????????????????===324222732bbcdaa??32333bbbabcdaaa????????????????????????()3bfa?所以，三次函數(shù)圖象都是中心對(duì)稱的，其對(duì)稱中心為.()33bbfaa????????如果對(duì)三次函數(shù)有了上述認(rèn)識(shí)，則2007年全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)22題不在難解。解法如下：解：（