導數(shù)知識點總結及應用

1、1《導數(shù)及其應用導數(shù)及其應用》知識點總結知識點總結一、導數(shù)的概念和幾何意義1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：。()fx12[]xx2121()()fxfxxx??2.導數(shù)的定義：設函數(shù)在區(qū)間上有定義，，若無限趨近于0時，比值()yfx?()ab0()xab?x?無限趨近于一個常數(shù)A，則稱函數(shù)在處可導，并稱該常數(shù)A為函數(shù)00()()fxxfxyxx???????()fx0xx?在處的導數(shù)，記作。函數(shù)在處的導數(shù)的實質是在該點

2、的瞬時變化率。()fx0xx?0()fx?()fx0xx?3.求函數(shù)導數(shù)的基本步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率：00()()yfxxfx?????；（3）取極限，當無限趨近與0時，無限趨近與一個常數(shù)A，則00()()fxxfxx????x?00()()fxxfxx????.0()fxA??4.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率。由此，可以利用導數(shù)求()fx0xx?()yfx?00(())xfx曲線的切線

3、方程，具體求法分兩步：（1）求出在x0處的導數(shù)，即為曲線在點處的切線的斜率；()yfx?()yfx?00(())xfx（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。000()()yyfxxx????當點不在上時，求經(jīng)過點P的的切線方程，可設切點坐標，由切點坐標得00()Pxy()yfx?()yfx?到切線方程，再將P點的坐標代入確定切點。特別地，如果曲線在點處的切線平行與()yfx?00(())xfxy軸，這時導數(shù)不存在，根據(jù)

4、切線定義，可得切線方程為。0xx?5.導數(shù)的物理意義：質點做直線運動的位移S是時間t的函數(shù)，則表示瞬時速度，表示瞬時加速度。()St()VSt??()avt??二、導數(shù)的運算1.常見函數(shù)的導數(shù)：（1）(kb為常數(shù))；（2）(C為常數(shù))；()kxbk???0C??（3）；（4）；()1x??2()2xx??（5）；（6）；32()3xx??211()xx???3可導函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調性求得，基本步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域

5、；（2）求導數(shù)；（3）求方程的全部實根，()fx()fx?()0fx??，順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：x變化時，和值的變化情況：12nxxx????()fx?()fxx1()x??1x12()xx…nx()nx??()fx?正負0正負0正負()fx單調性單調性單調性（4）檢查的符號并由表格判斷極值。()fx?3.求函數(shù)的最大值與最小值：如果函數(shù)在定義域I內存在，使得對任意的，總有，則稱為函數(shù)在定()fx0xxI?0()()fx

6、fx?0()fx義域上的最大值。函數(shù)在定義域內的極值不一定唯一，但在定義域內的最值是唯一的。求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的步驟：()fx[]ab（1）求在區(qū)間上的極值；()fx()ab（2）將第一步中求得的極值與比較，得到在區(qū)間上的最大值與最小值。()()fafb()fx[]ab4.解決不等式的有關問題：（1）不等式恒成立問題（絕對不等式問題）可考慮值域。的值域是時，不等式恒成立的充要條件是，即；不等式()()fxxA?[]ab()0

7、fx?max()0fx?0b?恒成立的充要條件是，即。()0fx?min()0fx?0a?的值域是時，不等式恒成立的充要條件是；不等式恒成立()()fxxA?()ab()0fx?0b?()0fx?的充要條件是。0a?（2）證明不等式可轉化為證明，或利用函數(shù)的單調性，轉化為證明()0fx?max()0fx?()fx。0()()0fxfx??5.導數(shù)在實際生活中的應用：實際生活求解最大（?。┲祮栴}，通常都可轉化為函數(shù)的最值.在利用導數(shù)來求函