極限理論的建立

1、數(shù)學分析的建立—極限思想的理論化微積分誕生之后，數(shù)學迎來了一次空前繁榮的時期，微積分在力學、天文學中大現(xiàn)身手，輕而易舉地解決許多本來認為束手無策的難題。后來，微積分又在更多的領(lǐng)域取得了豐碩的成果。人們公認微積分是17、18世紀數(shù)學所達到的最高成就。但是另一方面，無論是牛頓的瞬和流數(shù)，還是萊布尼茨的dx和，都涉及到“無窮小量“，而在他們各自的論述中都沒有給出確定的、一貫的定義，都缺乏清晰的、嚴謹?shù)倪壿嫽A(chǔ)。牛頓承認他對自己的方法只作出“簡

2、略的說明，而不是正確的論證?！叭R布尼茨曾把無窮小量形容為一種“理想的量“，但正如一些數(shù)學家所說：“與其說是一種說明，還不如說是一個謎?！捌婀值氖?，微積分自身存在著明顯的邏輯混亂，然而在實際應(yīng)用中則是卓有成效的得力工具。這樣，微積分就具有了“神秘性“。起初，“神秘性“集中表現(xiàn)在對于“無窮小量“這個概念的理解上，并因而受到了各種人的攻擊。數(shù)學家們不能容忍這一新方法的理論本身是如此的含糊不清乃至荒謬絕倫。法國數(shù)學家洛爾稱微積分為“巧妙的謬論的

3、匯集“；著名思想家伏爾泰說微積分是“精確的計算和度量某種無從想象其存在的東西的藝術(shù)“。在一片疑難和責問聲中，以英國主教兼哲學家貝克萊的譴責最為強烈，他譏諷無窮小量是“逝去的量的鬼魂“，說微積分包含“大量的空虛、黑暗和混亂“，是“分明的詭辯“。馬克思曾對微積分作過一番歷史考察，他把這一時期稱為“神秘的微積分“時期，并有這樣的評論：“于是，人們自己相信了新發(fā)現(xiàn)的算法的神秘性。這種算法肯定是通過不正確的數(shù)學途徑得出了正確的（而且在幾何應(yīng)用上是

4、驚人的）結(jié)果。人們就這樣把自己神秘化了，對這新發(fā)現(xiàn)的評價更高了，使一群舊式正統(tǒng)派數(shù)學家更加惱怒，并且激起了敵對的叫囂，這種叫囂甚至在數(shù)學界以外產(chǎn)生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的?！吧衩貧w神秘，微積分的邏輯缺陷不免遭到人們的猛烈攻擊，因此激厲數(shù)學家們?yōu)橄⒎e分的神秘性，亦即為微積分建立合理的理論基礎(chǔ)而努力。18世紀，在這方面作出貢獻的主要代表人物是達朗貝爾、歐拉和拉格朗日。達朗貝爾(分析)運算。喜歡分析的人將高興地看到，力學變成

5、了它的一個新分支，并將感激我擴大了它的領(lǐng)域?！睂嶋H情況正是這樣?？墒恰盁o窮小量“的本質(zhì)尚未弄明白，無窮級數(shù)的“和“的問題又日漸突出了。在很長一段時間里，人們習慣地把有限多項相加的運算規(guī)則照搬到無窮級數(shù)中，雖然也解決過許多問題，但有時竟出現(xiàn)了像12=0這樣的荒謬結(jié)果。進入19世紀以后，隨著微積分應(yīng)用的更加廣泛和深入，遇到的數(shù)量關(guān)系也更加復(fù)雜，在這種情況下，要求有明確的概念、合乎邏輯的推理和運算法則，就顯得更加重要和迫切了。事實上，微積分作

6、為變量數(shù)學，是運用“無窮“來描畫和研究運動和變化過程，獲得了成功的，卻長期沒有對有關(guān)“無窮“的概念給出正確的闡述，甚至導(dǎo)致邏輯上的混亂，這也正是微積分的理論基礎(chǔ)所要解決的問題。數(shù)學家們經(jīng)過一百多年的艱苦探索歷程，終于在前人所積累的大量成果（包括許多失敗的嘗試）的基礎(chǔ)上，建立起微積分的理論基礎(chǔ)。其中最大貢獻的就是柯西，魏爾斯特拉斯了?？挛骺挛鳎–auchy，AugustinLouis17891857）自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分（即無窮小

7、分析，簡稱分析）以來，這門學科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進一步發(fā)展，必須建立嚴格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論。1813年柯西在擔任工程師期間，用復(fù)變函數(shù)的積分計算實積分，這是復(fù)變函數(shù)論中柯西積分定理的出發(fā)點?？挛?821年出版的《分析教程》和1827年出版的《關(guān)于定積分理論的報告》中，開始有了極限概念的基本明確的敘述，并以極限概念為基礎(chǔ)，對“無窮小量“、無窮級數(shù)的“和“等概念給出了比較明確的定義。極限論正是從變化趨向上說明了“無