第3章 彈性本構(gòu)關(guān)系的求解習(xí)題

1、1第三章第三章彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問(wèn)題的求解習(xí)題彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問(wèn)題的求解習(xí)題習(xí)題習(xí)題1、試?yán)酶飨虍愋岳硐霃椥泽w的廣義虎克定律導(dǎo)出：在什么條件下，理想彈性體中的主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向相重合？解：各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為：zxyzxyzzyyxxzxzxyzxyzzyyxxyzzxyzxyzzyyxxxyzxyzxyzzyyxxzzzxyzxyzzyyxxyyzxyzxyzzyyxxxxcccccccccccccccccccc

2、cccccccccccccccc??????????????????????????????????????????666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211????????????????????????????????????（a）當(dāng)時(shí)，三個(gè)互相垂直的應(yīng)力方向?yàn)橹鲬?yīng)力方向。當(dāng)0???zxyzxy???時(shí)，三個(gè)互相垂直的應(yīng)變方向?yàn)橹鲬?yīng)

3、變方向。在主應(yīng)變方向上，剪應(yīng)力0???zxyzxy???分量為：zzyyxxzxzzyyxxyzzzyyxxxyccccccccc????????????636261535251434241?????????（b）若使，則式中，，具有非零解的條件為0???zxyzxy???xx?yy?zz?0636261535251434241?ccccccccc（c）上式即為x，y，z軸同時(shí)為應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸的條件。如果材料性能對(duì)稱(chēng)于一個(gè)平面，如O

4、xy平面，則，而且，此時(shí)04645363526251615????????ccccccccjiijcc?（c）式恒等于零。在此情況下，當(dāng)存在以x，y，z軸為主方向的應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力分量將成為（d）00434241?????zxyzzzyyxxxyccc??????若應(yīng)變分量之間滿足，則此點(diǎn)的應(yīng)變主方向和應(yīng)力0434241????zzyyxxxyccc????主方向重合。如果材料性能對(duì)稱(chēng)于Oxy，Oyz，Ozx三個(gè)平面，則有，此

5、時(shí)（d）式總是滿足的。由此可知，當(dāng)x，y，z軸為應(yīng)變的主056342414????cccc3解：設(shè)柱體的軸線z軸，。因?yàn)闄M向變形被限制，所以。pzz???0??yyxx??據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律????????????yyxxzzzzzzxxyyyyzzyyxxxxEEE??????????????????????????10101得：，，將此兩式相減得：??zzyyxx????????zzxxyy??????，而泊松比的理論取

6、值范圍為??xxyyyyxx????????v，故，將其代入廣義虎克定律得：211???v????????1zzyyxx?????????????????????121212zzzzxxzzzzEE從而，得解。???????????2111?????EEzzzzc習(xí)題習(xí)題5、在某點(diǎn)測(cè)得正應(yīng)變的同時(shí)，也測(cè)得與它成60。和90。方向上的正應(yīng)變，其值分別為，，，試求該點(diǎn)的主應(yīng)變、最大剪6010100?????6601050????690101

7、50????應(yīng)變和主應(yīng)力主應(yīng)力（，）。25101.2mmNE??3.0??解：設(shè)該點(diǎn)的x，y軸向的正應(yīng)變分別為，，剪應(yīng)變?yōu)?。任意方向（為x?y?xy???與x軸正向的夾角）上的正應(yīng)變?yōu)椋海?????????2sin22cos22xyyxyx?????所以，，220yxyx?????????0060120sin2120cos22xyyxyx???????????，解由此三式組成的方程組得該點(diǎn)的，和分別為：2290yxyx?????????