初中數(shù)學競賽勾股定理

1、初中數(shù)學競賽專題選講勾股定理一、內(nèi)容提要一、內(nèi)容提要1.勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c2?2.勾股定理及逆定理的應用①作已知線段a的，，……倍235②計算圖形的長度，面積，并用計算方法解幾何題③證明線段的平方關系等。3.勾股數(shù)的定義：如果三個正整數(shù)abc滿足等式a2＋b2=c2，那么這三個正整數(shù)abc叫做一組勾股數(shù).4.勾股數(shù)的推算公式①羅士琳法則（羅士琳是我國清代的數(shù)學家1789――1853）任取兩個正整數(shù)m和

2、n(mn)那么m2n2，2mnm2n2是一組勾股數(shù)。②如果k是大于1的奇數(shù)，那么k是一組勾股數(shù)。212?k212?k③如果k是大于2的偶數(shù)，那么k是一組勾股數(shù)。122???????K122???????K④如果abc是勾股數(shù)，那么nanbnc(n是正整數(shù))也是勾股數(shù)。5.熟悉勾股數(shù)可提高計算速度，順利地判定直角三角形。簡單的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。二、例題二、例題例1.已知線

3、段aaa2a3aa55求作線段aa5分析一：a＝＝2a525a224aa?∴a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。5分析二：a＝52492aa?∴a是以3a為斜邊，以2a為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。5作圖（略）例2.四邊形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2?求對角線AC的長解：延長BC和AD相交于E，則∠E＝30?∴CE＝2CD＝4，21DABCESEFGH＝32求：的值ab?（2001年希

4、望杯數(shù)學邀請賽，初二）年希望杯數(shù)學邀請賽，初二）解：根據(jù)勾股定理a2b2=EF2＝SEFGH＝①32∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH∴2ab=②31①－②得（ab）2=∴＝31ab?33三、練習三、練習1.以下列數(shù)字為一邊，寫出一組勾股數(shù)：①7，＿＿，＿＿②8，＿＿，＿＿③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿⑤11，＿＿，＿＿⑥12，＿＿，＿＿2.根據(jù)勾股數(shù)的規(guī)律直接寫出下列各式的值：①252－242＝＿＿，②52＋122＝＿＿，③＝

5、＿＿＿，④＝＿＿＿22158?2215253.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分別是中線和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿4.梯形兩底長分別是3和7，兩對角線長分別是6和8，則S梯形＝＿＿＿5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD求證：AE＝AF6.已知：M是△ABC內(nèi)的一點，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE求證：AE＝AF7.

6、在△ABC中，∠C是鈍角，a2b2=bc求證∠A＝2∠B8.求證每一組勾股數(shù)中至少有一個數(shù)是偶數(shù)。（用反證法）9.已知直角三角形三邊長均為整數(shù)，且周長和面積的數(shù)值相等，求各邊長10等腰直角三角形ABC斜邊上一點P，求證：AP2＋BP2＝2CP211.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中點，E，F(xiàn)分別在AB，ACME⊥MF求證：EF2＝BE2＋CF212.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中點，從D作D