奧數(shù)-游戲與策略

1、1.1.有一筐蘋(píng)果53個(gè)，甲乙兩人輪流從中拿走1個(gè)或2個(gè)蘋(píng)果，規(guī)定誰(shuí)拿走最后1個(gè)蘋(píng)果，誰(shuí)獲勝。如果甲先拿，那么他有沒(méi)有必勝的策略?！痉治雠c解分析與解】這與搶報(bào)30所采取的策略類(lèi)似。甲要取勝，甲必須先拿到第53個(gè)蘋(píng)果才行。依此向前倒推，甲要先拿第50個(gè)、第47個(gè)、第44個(gè)，……，第5個(gè)，第2個(gè)。2.2.有一個(gè)33的棋盤(pán)格以及9張大小為一個(gè)方格的卡片，9張卡片上分別寫(xiě)有1、3、4、5、6、7、8、9、10九個(gè)數(shù)。甲、乙兩人做游戲，輪流取一張

2、卡片放到九格中的一格，由甲方計(jì)算上、下兩行六個(gè)數(shù)的和；乙方計(jì)算左、右兩列六個(gè)數(shù)字的和，和數(shù)大的一方為勝，試問(wèn)：先取的一方（甲方）一定能勝嗎？【分析與解分析與解】由于四個(gè)角上的數(shù)都是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在A、B、C、D這四格中的數(shù)有關(guān)。甲方要獲勝，必須采?。海?）盡可能地將大數(shù)字填入A格或C格；（2）盡可能地將小的數(shù)字填入B格或D格。由于110＜39，甲應(yīng)先將1放進(jìn)B格。接下來(lái)，如果乙把10放進(jìn)D格，甲再把9放進(jìn)A格。這時(shí)不論

3、乙怎么放，C格中一定放有大于或等于3的數(shù)，因而甲方一定獲勝；如果乙把3放進(jìn)A格，甲方只需將9放進(jìn)C格，甲方也一定獲勝。3.3.有九張卡片，分別寫(xiě)著1、2、3、4、5、6、7、8、9。甲、乙兩人輪流取1張，誰(shuí)手上的三張卡片數(shù)字加起來(lái)等于15，誰(shuí)就取勝。問(wèn)保證不敗的對(duì)策是什么？【分析與解分析與解】從1、2、……8、9中選三個(gè)數(shù)，使得和為15，有如下八組：①1、5、9；②2、4、9；③2、5、8；④2、6、7；⑤3、4、8；⑥3、5、7；⑦4

4、、5、6；⑧1、6、8。每個(gè)人要保證不敗，就應(yīng)使對(duì)方不能獲勝，選數(shù)的原則應(yīng)該是：（1）使自己所占的可能性盡量多；（2）盡量破壞對(duì)方取勝的可能性。解：解：①甲要獲勝必須先報(bào)，甲先報(bào)5；②以后，乙報(bào)幾甲就接著報(bào)7減幾.這樣甲就能一定獲勝.7.7.有1994個(gè)球，甲乙兩人用這些球進(jìn)行取球比賽.比賽的規(guī)則是：甲乙輪流取球，每人每次取1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)，取最后一個(gè)球的人為失敗者.①甲先取，甲為了取勝，他應(yīng)采取怎樣的策略？②乙先拿了3個(gè)球，甲為了必勝

5、，應(yīng)當(dāng)采取怎樣的策略？【分析分析】為了敘述方便，把這1994個(gè)球編上號(hào)，分別為1～1994號(hào).取球時(shí)先取序號(hào)小的球，后取序號(hào)大的球.還是采用倒推法.甲為了取勝，必須把1994號(hào)球留給對(duì)方，因此甲在最后一次取球時(shí)，必須使他自己取到球中序號(hào)最大的一個(gè)是1993（也許他取的球不止一個(gè)）.為了保證能做到這一點(diǎn)，就必須使乙最后第二次所取的球的序號(hào)為1990（=19933）～1992（=19931）.因此，甲在最后第二次取球時(shí)，必須使他自己所取的球

6、中序號(hào)最大的一個(gè)是1989.為了保證能做到這一點(diǎn)，就必須使乙最后第三次所取球的序號(hào)為1986（=19893）～1988（=19891）.因此，甲在最后第三次取球時(shí)，必須使他自己取球中序號(hào)最大的一個(gè)是1985，….把甲每次所取的球中的最大序號(hào)倒著排列起來(lái)：1993、1989、1985、….觀察這一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一等差數(shù)列，公差d=4，且這些數(shù)被4除都余1.因此甲第一次取球時(shí)應(yīng)取1號(hào)球.然后乙取a個(gè)球，因?yàn)閍（4a）=4，所以為了確保甲從一

7、個(gè)被4除余1的數(shù)到達(dá)下一個(gè)被4除余1的數(shù)，甲就應(yīng)取4a個(gè)球.這樣就能保證甲必勝.由上面的分析知，甲為了獲勝，必須取到那些序號(hào)為被4除余1的球.現(xiàn)在乙先拿了3個(gè)，甲就應(yīng)拿53=2個(gè)球，以后乙取a個(gè)球，甲就取4a個(gè)球.解：解：①甲為了獲勝，甲應(yīng)先取1個(gè)球，以后乙取a個(gè)球，甲就取4a個(gè)球.②乙先拿了3個(gè)球，甲為了必勝，甲應(yīng)拿2個(gè)球，以后乙取a個(gè)球，甲就取4a個(gè)球.8.8.甲、乙兩人輪流往一張圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)定每人每次只能放一枚，硬