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文檔簡介
1、小學(xué)奧數(shù)專題之定義新運算1定義新運算定義新運算我們學(xué)過的常用運算有:+、-、、等.如:2+3=523=6都是2和3,為什么運算結(jié)果不同呢?主要是運算方式不同,實際是對應(yīng)法則不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法,對應(yīng)法則不同就是不同的運算.當(dāng)然,這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩個數(shù),通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個要求,不同的法則就是不同的運算.在這一講中,我們定義了一些新的運算形式,它們與我們常用的“
2、+”,“-”,“”,“”運算不相同.我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算”.例1、設(shè)a、b都表示數(shù),規(guī)定a△b=3a-2b,①求3△2,2△3;②這個運算“△”有交換律嗎?③求(17△6)△2,17△(6△2);④這個運算“△”有結(jié)合律嗎?⑤如果已知4△b=2,求b.分析:解定義新運算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì),本題規(guī)定的運算的本質(zhì)是:用運算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解:①3△2=33-22=9-4=52△3=
3、32-23=6-6=0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計算(17△6)△2,先計算括號內(nèi)的數(shù),有:17△6=317-26=39;再計算第二步39△2=339-22=113,所以(17△6)△2=113.對于17△(6△2),同樣先計算括號內(nèi)的數(shù),6△2=36-22=14,其次17△14=317-214=23,所以17△(6△2)=23.④由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因為4△b=34-2b=12-2b,那么12-2b=2,
4、解出b=5.例2、定義運算※為a※b=ab-(a+b),①求5※7,7※5;②求12※(3※4),(12※3)※4;③這個運算“※”有交換律、結(jié)合律嗎?④如果3※(5※x)=3,求x.解:①5※7=57-(5+7)=35-12=23,7※5=75-(7+5)=35-12=23.②要計算12※(3※4),先計算括號內(nèi)的數(shù),有:3※4=34-(3+4)=5,再計算第二步12※5=125-(12+5)=43,所以12※(3※4)=43.對于(
5、12※3)※4,同樣先計算括號內(nèi)的數(shù),12※3=123-(12+3)=21,小學(xué)奧數(shù)專題之定義新運算3=abc+ac+bc+ab+a+b+c.(普通加法的交換律)所以(a?b)?c=a?(b?c),因此“?”滿足結(jié)合律.說明:“?”對于普通的加法不滿足分配律,看反例:1?(2+3)=1?5=15+1+5=11;1?2+1?3=12+1+2+13+1+3=5+7=12;因此1?(2+3)≠1?2+1?3.例4、有一個數(shù)學(xué)運算符號“?”,使
6、下列算式成立:2?4=8,5?3=13,3?5=11,9?7=25,求7?3=?解:通過對2?4=8,5?3=13,3?5=11,9?7=25這幾個算式的觀察,找到規(guī)律:a?b=2a+b,因此7?3=27+3=17.例5、x、y表示兩個數(shù),規(guī)定新運算“”及“△”如下:xy=mxny,x△y=kxy,其中m、n、k均為自然數(shù),已知12=5,(23)△4=64,求(1△2)3的值.分析:我們采用分析法,從要求的問題入手,題目要求1△2)3的
7、值,首先我們要計算1△2,根據(jù)“△”的定義:1△2=k12=2k,由于k的值不知道,所以首先要計算出k的值,k值求出后,l△2的值也就計算出來了.我們設(shè)1△2=a,(1△2)3=a3,按“”的定義:a3=ma3n,在只有求出m、n時,我們才能計算a3的值.因此要計算(1△2)3的值,我們就要先求出k、m、n的值.通過12=5可以求出m、n的值,通過(23)△4=64求出k的值.解:因為12=m1n2=m2n,所以有m2n=5.又因為m、
8、n均為自然數(shù),所以解出:①當(dāng)m=1,n=2時:(23)△4=(1223)△4=8△4=k84=32k有32k=64,解出k=2.②當(dāng)m=3,n=1時:(23)△4=(3213)△4=9△4=k94=36k有36k=64,解出k=,這與k是自然數(shù)矛盾,因此m=3,n=1,k=971971這組值應(yīng)舍去.所以m=l,n=2,k=2.(1△2)3=(212)3=43=1423=10.在上面這一類定義新運算的問題中,關(guān)鍵的一條是:抓住定義這一點不
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