韋達定理及其應用競賽題

1、韋達定理及其應用韋達定理及其應用66韋達定理及其應用韋達定理及其應用【內容綜述內容綜述】設一元二次方程有二實數根，則，。這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數a，b，c的關系，稱之為韋達定理。其逆命題也成立。韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數學競賽中有著廣泛的應用。本講重點介紹它在五個方面的應用?！疽c講解要點講解】1求代數式的值應用韋達定理及代數式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值?！铩锢?若

2、a，b為實數，且，，求的值。思路注意a，b為方程的二實根；（隱含）。解（1）當a=b時，；（2）當時，由已知及根的定義可知，a，b分別是方程的兩根，由韋達定理得，ab=1.說明此題易漏解a=b的情況。根的對稱多項式，，等都可以用方程的系數表達出來。一般地，設，為方程的二根，，則有遞推關系。其中n為自然數。由此關系可解一批競賽題。附加：本題還有一種最基本方法即分別解出a，b值進而求出所求多項式值，但計算量較大?！铩铩锢?若，且，試求代數式

3、的值。思路此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數變形來完成。解：因為，由根的定義知m，n為方程的二不等實根，再由韋達定理，得，韋達定理及其應用韋達定理及其應用68由a，b為實數知此方程有實根。。∴，故c=0，從而。這表明①有兩個相等實根，即有a=b。0c2?說明由“不等導出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達定理和判別式

4、定理相結合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數性等。關于方程的實根符號判定有下述定理：⑴方程有二正根，ab0；⑵方程有二負根，ab0，ac0；⑶方程有異號二根，ac0；⑷方程兩根均為“0”，b=c=0，；★★★例5設一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實數a的范圍。⑴二根均大于1；⑵一根大于1，另一根小于1。思路設方程二根分別為，，則二根均大于1等價于和同時為正；一根大于1，另一根小于是等價于和異號。解設此方程的二根為，，則，。