初二.判別式與韋達(dá)定理

1、110[文件]sxjsck0006.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初二判別式韋達(dá)定理方程[標(biāo)題]判別式與韋達(dá)定理[內(nèi)容]判別式與韋達(dá)定理判別式與韋達(dá)定理根的判別式和韋達(dá)定理是實(shí)系數(shù)一元二次方程的重要基礎(chǔ)知識(shí)，利用它們可進(jìn)一步研究根的性質(zhì)，也可以將一些表面上看不是一元二次方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)討論.1判別式的應(yīng)用例1（1987年武漢等四市聯(lián)賽題）已知實(shí)數(shù)a、b、c、R、P滿足條件PR＞1，Pc2bRa=0.求證：一元二次方程ax22

2、bxc=0必有實(shí)根.證明△=（2b）24ac.①若一元二次方程有實(shí)根，必須證△≥0.由已知條件有2b=（PcRa），代入①，得△=（PcRa）24ac=（Pc）22PcRa（Ra）24ac=（PcRa）24ac（PR1）.∵（PcRa）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）當(dāng)ac≥0時(shí)，有△≥0；（2）當(dāng)ac＜0時(shí)，有△=（2b）24ac＞0.（1）、（2）證明了△≥0，故方程ax22bxc=0必有實(shí)數(shù)根.例2（1985年寧波初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

3、）如圖211，k是實(shí)數(shù)，O是數(shù)軸的原點(diǎn)，A是數(shù)軸上的點(diǎn)，它的坐標(biāo)是正數(shù)a.P是數(shù)軸上另一點(diǎn)坐標(biāo)是xx＜a，且OP2=kPAOA.（1）k為何值時(shí)，x有兩個(gè)解x1，x2（設(shè)x1＜x2）；此處無(wú)圖（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按從小到大的順序排列，并用不等號(hào)“＜”連接.解（1）由已知可得x2=k（ax）a，即x2kaxka2=0，當(dāng)判別式△＞0時(shí)有兩解，這時(shí)△=k2a24ka2=a2k（k4）＞0.∵a＞0，∴k（k4）＞0，故k＜4

4、或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3（1982年湖北初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明不可能分解為兩個(gè)一次因式y(tǒng)xyxyx????22之積.分析若視原式為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則可利用判別式求解.證明).()1(2222yyxyxyxyxyx?????????將此式看作關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則判別式△=.163)(4)1(222???????yyyyy顯然△不是一個(gè)完全平方式，故原式不能分解為兩個(gè)一次因式之積.例3（1957年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已

5、知x，y，z是實(shí)數(shù)，且xyz=a，①112證明由已知條件可以推出a≠0，因?yàn)槿鬭=0，則方程組至少有?????????????cbxyxycbxyxy一個(gè)有實(shí)數(shù)解.進(jìn)一步可知，方程ax2bxc=x無(wú)實(shí)根，因此判別式△=＜0，acb4)1(2??于是（b1）2（b1）8ac＜0.即4acb2＞1.∴????????????????????2222442||||abacabxacbxax＞.||41412aaa??2韋達(dá)定理的應(yīng)用例7（18

6、99年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題）假設(shè)x1、x2是方程x2（ad）xadbc=0的根.證明這時(shí)是方程的根.3231xx0)()33(3332???????bcadybcdadcday證明由已知條件得.2121bcadxxdaxx??????∴)(3)(21213213231xxxxxxxx?????=a3d33abc3bcd，.)()(33213231bcadxxxx?????由韋達(dá)定理逆定理可知，、是方程31x32x的根.0)()33(

7、3332???????bcadybcdabcday例8已知兩個(gè)系數(shù)都是正數(shù)的方程a1x2b1xc1=0，①a2x2b2xc2=0，②都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：（1）這兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是負(fù)值；（2）方程a1a2x2b1b2xc1c2=0③③也有兩個(gè)負(fù)根.證明∵方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴＞0.④11214cab?同理＞0.⑤22224cab?又a1、b1、c1都是正數(shù)，∴＞0，＜0.11ac11ab?由此可知方程①的兩根是負(fù)值.同樣可證方程②的兩根也是