二次函數(shù)根的判別式、韋達(dá)定理

1、一元二次方的應(yīng)用及根的判別式、韋達(dá)定理一、根的判別式1.一元二次方程根的判別式的定義：運(yùn)用配方法解一元二次方程過(guò)程中得到，顯然只有當(dāng)時(shí)，才能直接2224()24bbacxaa???240bac??開(kāi)平方得：22424bbacxaa????也就是說(shuō)，一元二次方程只有當(dāng)系數(shù)、、滿足條件時(shí)才有20(0)axbxca????abc240bac????實(shí)數(shù)根這里叫做一元二次方程根的判別式24bac?2.判別式與根的關(guān)系：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程

2、的根由其系數(shù)、、確定，它的根的情況(是否20(0)axbxca????abc有實(shí)數(shù)根)由確定24bac???判別式：設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則20(0)axbxca????24bac???①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0???20(0)axbxca????21242bbacxa????②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0???20(0)axbxca????122bxxa???③方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根0???20(0)axbxca????若，，為有理

3、數(shù)，且為完全平方式，則方程的解為有理根；abc?若為完全平方式，同時(shí)是的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根?24bbac???2a說(shuō)明:(1)用判別式去判定方程的根時(shí)，要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過(guò)來(lái)使用，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，0??0??0??(2)在解一元二次方程時(shí)，一般情況下，首先要運(yùn)用根的判別式判定方程的根的情24bac???況(有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，無(wú)實(shí)數(shù)根)

4、當(dāng)時(shí)，方240bac????程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(二重根)，不能說(shuō)方程只有一個(gè)根①當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；0a???②當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)0a???3.一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用：一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：（1）運(yùn)用判別式，判定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；（2）利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；（3）通過(guò)判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；（4）借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有

5、解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題，最值問(wèn)題二、韋達(dá)定理如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有20axbxc???0a?12xx，，????212axbxcaxxxx?????比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得1212bxxacxxa??????????????????????①，②①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立反過(guò)來(lái)，如果有兩數(shù)滿足①20axbxc???

6、1x，2x與②，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根利用這一基本知識(shí)常可以簡(jiǎn)捷地12xx，20axbxc???處理問(wèn)題利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性20axbxc???在的條件下，我們有如下結(jié)論：24bac???≥0【例4】已知關(guān)于的方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x2(1)10nxmx????求證：關(guān)于的一元二次方程②必有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根y222440mymymn????【鞏固】已知，，判斷關(guān)于的方程的根的情況，并

7、給出必要的說(shuō)明.0a?bac??x20axbxc???【鞏固】(1998年山東省競(jìng)賽)設(shè)、、為互不相等的非零實(shí)數(shù)，求證：三個(gè)方程abc，220axbxc???，220bxcxa???，220cxaxb???不可能都有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根二、應(yīng)用題【例5】（2006湛江市）近年來(lái)，我市開(kāi)展以“四通五改六進(jìn)村”為載體，以生態(tài)文明為主要特色的新農(nóng)村建設(shè)活動(dòng)取得了明顯成效下面是市委領(lǐng)導(dǎo)和市民的一段對(duì)話，請(qǐng)你根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，替市領(lǐng)導(dǎo)回答市民提出的問(wèn)題（