用特征根方程法求數(shù)列通項(xiàng)

1、特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)當(dāng)時(shí)，的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟?jìng)賽中解決遞推式的基本方法。()fxx?x典型例子：令，即，1nnnaabacad????axbxcxd???2()0cxdaxb????令此方程的兩個(gè)根為，(1)若則有（其中）12xx12xx?11111nnpaxax?????2cpad??(2)若則有（其中）12xx?111122nnnnaxaxqaxax???????12ac

2、xqacx???例題1：設(shè)，23()27xfxx????(1)求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2）對(duì)(1)中的二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求使恒成立的()yfx?()abab?()()fxaxakfxbxb?????常數(shù)的值；k(3)對(duì)由定義的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式。111()nnaafa???(2)n?nana23()27xfxx????解析：(1)設(shè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為，則()fx0x0002327xxx????解得或(2)由012x??03x?231111()12722

3、22238248(3)83327xxxxxxxxxx?????????????????????可知使恒成立的常數(shù)。(3)由(2)可知，所以數(shù)列()()fxaxakfxbxb?????18k?1111122383nnnnaaaa????????是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。則，則123nnaa????????????34?1811312()348nnnaa??????11911()482311()48nnna?????例2已知數(shù)列滿足性質(zhì)

4、：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.na14N23nnnanaa?????31?ana解:依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的324???xxx04222???xx.2121?????根，則有其中由代入后確定。12ccd12aana例2：在數(shù)列中，，且時(shí)，，求；na1237aa??3n?12340nnnaaa?????na（參考答案：）考慮一個(gè)簡單的線性遞推問題.121(1)2nnna?????設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足na1ab?1nnaca

5、d???其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.10??cc采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對(duì)問題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程稱之為特征方程；借助這個(gè)特征方程dcxx??的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即0x10ax?na，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.0101xbaaxaannn

6、????時(shí)當(dāng)nbc01111xabcbbnn????證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元10?c.10cdx??0xabnn??則1101nnndbaxcadc????????0().1nnncdcacaxcbc??????當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故10ax?01?bnbc11??nncbb當(dāng)時(shí)，，為0數(shù)列，故（證畢）10ax?01?bnb.N1??naan下面列舉兩例，說明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求na4N23111????

7、??anaann.na解：作方程.232310?????xxx則當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是41?a.211231101????abxanb31?1111111()()323nnnbb??????133111()N.2223nnnabn?????????例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.naN)32(1????niaanni當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？1ana解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須)32(ixx??.5360i