第二章 非線性代數(shù)方程組的解法

1、7第二章第二章非線性代數(shù)方程組的解法非線性代數(shù)方程組的解法在非線性力學(xué)中，有多種類(lèi)型的非線性問(wèn)題，如材料非線性、幾何非線性、接觸非線性等。無(wú)論是哪一類(lèi)非線性問(wèn)題，經(jīng)過(guò)有限元離散后它們都?xì)w結(jié)為求解一個(gè)非線性代數(shù)方程組：0)(0)(0)(21212211???nnnn??????????????ψψψ其中是未知量，是的非線性函數(shù)，現(xiàn)引用矢量記n???21?nψψψ21?n???21?號(hào)Tn][21?????δTn][21ψψψψ??上述方程

2、組可表示為0δψ?)(還可以將它改寫(xiě)為0RδδKRδFδψ?????)()()(是一個(gè)的矩陣，其元素是矢量的函數(shù)，為已知矢量。在位移有限元中)(δKnn?ijkδR代表未知的結(jié)點(diǎn)位移，是等效結(jié)點(diǎn)力，為等效結(jié)點(diǎn)荷載，方程表示結(jié)δ)(δFR0δψ?)(點(diǎn)的平衡方程。在線彈性有限元中，線性代數(shù)方程組0RKδ??可以毫無(wú)困難地求解，但對(duì)非線性方程組則不行。一般來(lái)說(shuō)，難以求得其精確解，0δψ?)(通常采用數(shù)值解法，把非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列線性問(wèn)題

3、。為了使這一系列線性解收斂于非線性解，曾經(jīng)有過(guò)許多方法，但這些解法都有一定的局限性。某一解法對(duì)某一類(lèi)非線性問(wèn)題有效，但對(duì)另一類(lèi)問(wèn)題可能不合適。因而，根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)正確選用求解方法成為非線性有限元的一個(gè)極重要的問(wèn)題。本章將介紹有限元分析中常見(jiàn)的各種求解非線性方程組的數(shù)值方法。2.1迭代法迭代法前面已經(jīng)提到，目前求解非線性方程組的方法一般為線性化方法。若對(duì)總荷載進(jìn)行線性化處理，則稱(chēng)為迭代法。2.1.1直接迭代法直接迭代法對(duì)非線性方程組(21)

4、0RδδK??)(設(shè)其初始的近似解為，由此確定近似的矩陣0δδ?K)(00δKK?根據(jù)式〈21〉可得出改進(jìn)的近似解RKδ101)(??重復(fù)這一過(guò)程，以第i次近似解求出第i＋1次近似解的迭代公式為9對(duì)于一個(gè)單變量問(wèn)題的非線性方程，直接迭代法的計(jì)算過(guò)程如圖21和圖22所示，它們分別給出為凸和凹曲線時(shí)的迭代過(guò)程。可以看出就是過(guò)曲線上點(diǎn)(?~F)(?K))(??F與原點(diǎn)的割線斜率。對(duì)于單變量問(wèn)題，這一迭代過(guò)程是收斂的，但對(duì)多自由度情況，由于未知

5、量通過(guò)矩陣耦合，迭代過(guò)程可能不收斂。K2.1.2Newton—Raphson方法方法Newton—Raphson方法是求解非線性方程組(24)0RδFδψ???)()(的一個(gè)著名方法，簡(jiǎn)稱(chēng)Newton法。以下將介紹這種方法。設(shè)為具有一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，是方程（24）的第i次近似解。若)(δ?iδδ?0RδFδψψ????)()(iii希望能找到一個(gè)更好的、方程（24）的近似解為(25)iiiδδδδ?????1將（25）代入（24），并

6、在附近按一階Tayl級(jí)數(shù)展開(kāi)，則在處的線性近iδδ?)(δψiδ似公式為iiiiδδψψψ??????)(1其中iiδδδψδψ??????)()(??nnψψψδψ??2121)(??????????????????????????????????引入記號(hào)iiTiT)()(δψδKK????假定為真實(shí)解，則由1?iδ0δKψδδψδψ????????iiTiiii)()(1解出修正量為iδ?(26))()()(11iiTiiTiFRK