七年級數(shù)學上冊一元一次方程小結與復習

1、第三章 一元一次方程 小結與復習,義務教育教科書 數(shù)學 七年級 上冊,,,,,學習目標： 1.加深對一元一次方程及其相關概念的理解. 2.理解解一元一次方程的一般步驟，熟練地解一元一次方程． 3.以方程為工具，分析、解決實際問題. 體會列方程中蘊涵的 “數(shù)學建模思想”和解方程中蘊涵的“化歸思想”．,學習重點：熟練解一元一次方程、列一元一次方程解決實際問題．,學習難點：分析實際問題中的數(shù)量關系并用一元一次方程表

2、示其中學習的相等關系．,,一元一次方程,,方程的解,,方程,,等式的性質,,方案選擇問題,1.什么叫方程？,含有未知數(shù)的等式叫做方程.,注意： 判斷一個式子是不是方程，要看兩點：一是等式；二是含有未知數(shù).二者缺一不可.,知識點復習一：方程與方程的解,2.什么是一元一次方程？,,只有一個未知數(shù) 一元一次方程 未知數(shù)的次數(shù)為1 方程兩邊都市整式,4.方程

3、的解與解方程：,一元一次方程的標準形式是：ax+b=0 （a≠0）,一元一次方程的最簡形式是：ax=b （a≠0）,一元方程的解也叫方程的根,3.一元一次方程的標準形式和最簡形式,（2）求方程的解的過程叫解方程.,（1）使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值 叫方程的解,②,④,2,-1,（B）,（C）,（D）,（A）,D,B,1.下列各式中，是方程的是（ ） A． x + 3

4、B． x – 2 > 0 C．2x + 7 = 3 D．2 + 3 = 5,c,2,1,2.在下列方程中哪些是一元一次方程（ ）（1）3x+5=12； （2） + =5； （3）2x+y=3； （4）y2+5y－6=0；（5） = 2.,練習一,C,（1）、（2）,,,,4. 若 是一元

5、一次方程，則n= .,3.寫一個解為 x=-2 的一元一次方程是 ,,等式性質有哪些？并以字母的形式表示出來,等式性質1：如果a=b ，那么a+c=b+c,需注意的是“同一個數(shù)，或同一個式子”。,知識點復習二：等式的性質,等式性質2：如果a=b ， 那么ac=bc,如果a=b ， 那么 （c≠0）,需注意的是“兩邊都乘，不要漏乘”；“同除一個非0的數(shù)”,,基礎回顧 加深理解,問題3：填空并說

6、明根據(jù)等式的第幾條性質怎樣進行的變形．（1）如果a＝b＋5，那么a－2＝( )；（2）如果x＝2y＋1，那么2x－4＝( ).,b＋3,根據(jù)等式的性質1，兩邊減2.,4y－2,先根據(jù)等式的性質2，兩邊乘2；再根據(jù)等式的性質1，兩邊減4.,×,√,×,√,（3）由 y=0,得y=2,（2）由7x=-4,得x=-,（1）由3+x=5,得x=5+3,（4）由3=x+2,得x=3-2,,,,a

7、,D,4.若方程 與 的解相同，求a的值.,6.關于x的方程2（x-1）=3m-1與3x+2=-2（m+1） 的解互為相反數(shù)，求m的值,,三、求解方程 體會化歸,問題4：（1）解以x為未知數(shù)的方程，就是把方程逐步轉化為( )的形式.,x＝a,（2）解一元一次方程的一般步驟是什么？,①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1.,（3）你能

8、說出每一步的依據(jù)嗎？,,解一元一次方程時，要根據(jù)方程的具體特點， 靈活選擇解答步驟.,解方程,去括號，得,移項，得,合并同類項，得,化系數(shù)為1，得,解：去分母，得,18x+3（x-1）=18-2（2x-1）,18x+3x-3=18-4x+2,18x+3x+4x=18+2+3,25x=23,知識點復習三：解一元一次方程,在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù),等式性質2,①不要漏乘不含分母的項；②分子是多項式，要加上括號,一般先

9、去小括號，再去中括號，最后去大括號,乘法分配律 去括號法則,①不要漏乘括號內的每一項；②括號前為“－”號時，不要忘了,把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊，注意移項要變號,移項法則,①移項要變號；②一般將未知數(shù)移到左邊，將常數(shù)項移到右邊；③不要漏項,把方程變?yōu)閍x=b(a≠0 )的最簡形式,合并同類項法則,將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得解x=b/a,等式性質2,①系數(shù)為整數(shù)時宜用除法；②系數(shù)為分數(shù)時要乘系數(shù)的

10、倒數(shù),系數(shù)相加時，字母及指數(shù)不變,解方程,,解：去分母，得,去括號，得,移項，得,合并同類項，系數(shù)化為1得,1.下面方程的解法對嗎？若不對，請改正 。,不對,,,,火眼金睛,練習三,解方程：,,實際問題,一元一次方程的解（x=a),實際問題 的答案,,一元一次方程,,知識點復習四：列方程解應用題,建模思想,1.用一元一次方程解決實際問題的基本過程分別 是什么？,,2.用方程解實際問題的基本過程：,（1）審：審題，分析題目中的數(shù)量關

11、系；,（2）設：設適當?shù)奈粗獢?shù)，并表示未知量；,（3）列：根據(jù)題目中的數(shù)量關系列方程；,（4）解：解這個方程求未知數(shù)的值；,（6）答：寫出答案.,（5）檢：檢驗所求的解是否符合題意和實際意義；,基本數(shù)量關系式1.相遇問題:s甲+s乙=s總 =速度和×相遇時間2.追及問題：同地： s先=s后 ， 不同地： s后－ s前=s間3.環(huán)形跑道問題： 逆向跑： s甲+s乙=一圈的路程

12、 同向跑： s快－s慢=一圈的路程 4.流水行船問題：順水速=靜水速+水速 逆水速=靜水速-水速,行程問題,練習,1.王力騎自行車從A地到B地，陳平騎自行車從B地到A地，兩人都沿同一條公路均速前進,已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12時，兩人又相距36千米.求A,B兩地的距離.,解：設AB相距x千米,答：AB相距108千米,根據(jù)題意，得,解得

13、,x=108,A、B兩車分別停靠在相距240千米的甲、乙兩地，甲車每小時行50千米，乙車每小時行30千米。若兩車同時相向而行，請問B車行了多長時間后兩車相距80千米？,,線段圖分析：,,,甲,乙,A,B,,,80千米,第一種情況：A車路程＋B車路程＋相距80千米 =相距路程,相等關系：總量=各分量之和,50x + 30x + 80 = 240,240千米,x = 2,50x,30x,變式練習,A、B兩車分別?？吭谙嗑?40千

14、米的甲、乙兩地，甲車每小時行50千米，乙車每小時行30千米。若兩車同時相向而行，請問B車行了多長時間后兩車相距80千米？,,線段圖分析：,,,甲,乙,A,B,,,80千米,第二種情況：A車路程＋B車路程-相距80千米 =相距路程,50x + 30x - 80 = 240,240千米,x = 4,50x,30x,2.小剛和小強從A,B兩地同時出發(fā),小剛騎自行車,小強步行,沿同一條路線相向勻速而行.出發(fā)后2h兩人相遇，相遇時小剛比

15、小強多行進24km,相遇后0.5h小剛到達B地.兩人的行進速度分別是多少?相遇后經(jīng)過多少時間小強到達A地?,解：設小強每小時行x千米,小剛每小時行x ＋12千米.根據(jù)題意，得 2 x ＝(x ＋12)×0.5 解得 x ＝4 則 4＋24÷2＝16 16×2÷4＝8答：小強的速度是每小時4千米,小剛的速度是每小時16千米.相遇后經(jīng)過8小時

16、小強到達A地.,3.運動場的跑道一圈長400米,小健練習騎自行車,平均每分騎350米,小康練習跑步.平均每分跑250米,兩人從同一處同時反向出發(fā),經(jīng)多長時間首次相遇?又經(jīng)多長時間再次相遇?,運動場的跑道一圈長400米,小健練習騎自行車,平均每分騎350米,小康練習跑步.平均每分跑250米,兩人從同一處同時同向出發(fā),經(jīng)多長時間首次相遇?又經(jīng)多長時間再次相遇?,變式,4.甲乙兩列火車的長分別為144米和180米，甲車比乙車每秒多行4米.（

17、1）若兩列火車相向而行，從相遇到全部錯開需9秒鐘，問：兩車的速度各是多少？（2）若兩車同向行駛，甲車的車頭從乙車的車尾追擊到甲車完全超過乙車，需要多少秒鐘？,分析：這是一道涉及相遇與追及問題的創(chuàng)新題，關鍵 是弄清甲、乙兩車行程間的關系。第（1）題中的等量關系是： 甲車行程＋乙車行程=甲車長＋乙車長第（2）題中的等量關系為： 甲車行程－乙車行程=甲車長＋乙車長,解：（1）設乙車速度為x m/s，則

18、甲車速度為(x+4)m/s根據(jù)題意得：9(x＋4)＋9x＝144＋180 解得：x＝16， 則 x＋4＝20答：甲車速度為20m/s，乙車速度為16m/s。（2）設同向行駛，甲車的車頭從乙車的車尾追及到甲車全部超出乙車需y秒，依題意得： 20y－16y＝144＋180 解得：y＝81 答：同向行駛，甲車從追及乙車車尾到全部超過 乙車需81秒鐘。,下表

19、是某校七～九年級某月課外興趣小組活動時間統(tǒng)計表，其中各年級同一興趣小組每次活動時間相同,請將九年級課外興趣活動小組次數(shù)填入上表.,表格問題：,解：設文藝小組每次活動時間為x小時，則科技 小組每次活動時間為 =3.5-x小時 根據(jù)題意，得 4x +3(3.5-x )=12.5 解得：x =2 3.5-2=1.5小時 設九年級文藝小組活動次數(shù)為y次，則科

20、技 小組活動次數(shù)為 ,只有當y=2時，科技 小組活動次數(shù)為 才為整數(shù)值2 因此，九年級文藝小組活動次數(shù)為2，科技小組活 動次數(shù)為2,,,,工程問題中的數(shù)量關系：,（1）工作效率=,（2）工作總量=工作效率×工作時間,（3）工作時間=,（4）各隊合作工作效率=各隊工作效率之和,（5）全部工作量之和=各隊工作量之和,解： （1）設兩工程隊合作需要x天完成.,（2）設修好這條公路共需

21、要 y 天完成。 等量關系： 甲30天工作量+乙隊y天的工作量 = 1,答：兩工程隊合作需要48天完成，修好這條公路還需75天.,等量關系：甲工作量+乙工作量=1,依題意得,依題意得,解得 y=75,x=48,例：修筑一條公路，甲工程隊單獨承包要80天完成，乙工程隊單獨承包要120天完成（1）現(xiàn)在由兩個工程隊合作承包，幾天可以完成？（2）如果甲、乙兩工程隊合作了30天后，因甲工作隊另有任務，剩下工作由乙工作隊

22、完成，則修好這條公路共需要幾天？,一件工作，甲獨做15天完成，乙獨做30天完成，甲先做5天之后乙又做了10天，剩余工作由甲、乙二人合作完成，需幾天？,練習,= 售價—進價,利潤,利潤率=,進價,利潤,×100%,,售價＝,標價×,打折數(shù),,10,進價,售價=,+進價×利潤率,打折銷售問題,銷售額=銷售價×銷售量,銷售總利潤=（銷售價-進價）×銷售量 =

23、銷售額-總成本,例：一商店把貨品按標價的九折出售，仍可獲利12.5%，若貨品進價為380元，則標價為多少元？,兩個等量關系式：,解：若設標價為x元.,根據(jù)題意，列方程得：,90% x-380=380×12.5%,等量關系中的利潤相等,售價=標價的九折,2.某商場共出售甲、乙兩種商品共50件，該50件商品總進價108000元，其中商品甲每件進價1800元，出售后獲利200元；商品乙每件進價2400元，出售后獲利300元。問該商場

24、出售這50件商品共獲利是多少元？,解：設出售甲種商品x件，則乙種商品（50- x ）件，根據(jù)題意，得.,解之得,x=20,答：商場出售這50件商品共獲利13000元。,∴ 50-x=30,∴ 50件共獲利=20 × 200+30 × 300=13000,1800x+2400（50-x）=108000,3.現(xiàn)對某商品降價20%促銷,為了使銷售總金額保持不變,銷售量要比按原價銷售時增加百分之幾?,解：設銷售量要比按原價銷

25、售時增加x (1-20%)(1+x) = 1 解得 x = 25% 答：銷售量要比按原價銷售時增加25%.,等量關系：原價銷售與促銷總金額相等 原價銷售總金額=原價×銷售量（件數(shù)） 促銷銷售總金額=促銷價×銷售量（件數(shù)） 把原價當作1,則促銷價=1×（1-20%） 把原價銷售量當作1,則促銷價銷售量為1×（1+x）,1.某會議廳主席臺

26、上方有一個長12.8m的長條形(矩形)會議橫標框，鋪紅色襯底．開會前將會議名稱用白色厚紙或不干膠紙刻出來貼于其上．但會議名稱不同，字數(shù)一般每次都多少不等，為了制作及貼字時方便美觀，會議廳工作人員對有關數(shù)據(jù)作了如下規(guī)定：邊空:字寬:字距=9:6:2，如圖所示．根據(jù)這個規(guī)定，求會議名稱的字數(shù)為18時，邊空、字寬、字距各是多少?,比例分配問題,解：設邊空、字寬、字距分別為9x(cm)、6x (cm)、 2x (cm)，

27、根據(jù)題意，得2×9x+18×6x+（18-1)×2x =1280 解得x=8 則 9x=72 6x=48 2x=16 ∴ 邊空為72cm，字寬為48cm，字距為16cm.,分析：邊空2個，字寬18個 字距17個,2.我國四大發(fā)明之一的黑火藥是用硝酸鈉、 硫磺、木炭三種，原料按15：2：3的比例

28、配制而成，現(xiàn)要配制這種火藥150公斤，則這三種原料各需要多少 公斤？,解：設需要硝酸鈉15x公斤，硫磺2x公斤， 木炭3x公斤,依題意得：15x+2x +3x=150 x=7.5,15x=15×7.5=112.5 2x=2×7.5=15 3x=3×7.5=22.5,答：硝酸鈉應取11

29、2.5公斤，硫磺取15公斤，木炭 應取 22.5公斤。,增長率問題,例： 某工廠食堂第三季度一共節(jié)煤7400斤，其中八月份比七月份多節(jié)約20%，九月份比八月份多節(jié)約25%，問該廠食堂九月份節(jié)約煤多少公斤？ （間接設元）,依題意得：x+ (1+20%)x +(1+20%)(1+25%)x=7400,答:該食堂九月份節(jié)約煤3000公斤.,解：設七月份節(jié)約煤x公斤,則八月份節(jié)約煤(1+20%)x 公斤，九月份節(jié)約煤(1+20

30、%)(1+25%)x公斤,x=2000,(1+20%) (1+25%)x=3000,問題：把一個數(shù)增加20％后再減少20％，還等于這個數(shù)嗎？,例 ：小明的爸爸前年存了年利率為2.43%的兩年期定期儲蓄。今年到期后，扣除利息稅20%，所得利息正好為小明買了一個價值48.6元的計算器，問小明爸爸前年存了多少錢？,解：設小明爸爸前年存了x元。,依題意得：2 × 2.43%（1－ 20%）x = 48.6

31、 x = 1250,答：小明爸爸前年存了1250元錢,等量關系：利息－利息稅=應得利息,利息 = 本金 × 年利率 × 期數(shù),利息稅 = 本金 ×

32、; 年利率 × 期數(shù)×稅率（20%）,儲蓄問題,練習：某公司存入銀行甲、乙兩種不同性質的存款共20萬元。甲種存款的年利率為1.4%，乙種存款的年利率為3.7%，該公司一年共得利息6250元，求甲、乙兩種存款各多少元？,解：設甲種存款為x萬元。則乙種存款為（20 - x)萬元,根據(jù)題意得：,解方程得： x = 5 所以 20 – x = 15,答：甲種存款為5萬元，乙種存款為15萬

33、元,例:某部隊開展支農(nóng)活動，甲隊27人，乙隊19人，現(xiàn)另調26人去支援，使甲隊是乙隊的2倍，問應調往甲隊、乙隊各多少人？,解：設調往甲隊x人，則調往乙隊（26-x)人,根據(jù)題意，得方程：,解方程得：x = 21,答：調往甲隊21人。調往乙隊5人。,調配問題,例：日歷中2×2方塊的四個數(shù)的和是72，求這四個數(shù)。 解：設四個數(shù)中最小的數(shù)為x, 解方程，得：x = 14

34、 答：這四個數(shù)分別為14，15，21，22。例2：一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和是11，若交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置，則新數(shù)比原數(shù)小9，求原兩位數(shù)。,日歷數(shù)字問題,練習,1.一個兩位數(shù)，十位數(shù)與個位上的數(shù)字之和為11，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調，那么得到的數(shù)比原來的數(shù)大63，求原來的兩位數(shù)？ 2.一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小1，十位上與個位上的數(shù)字之和為這個數(shù)的，求這個兩位數(shù)？,方案設計與成本分析問題,常

35、見于旅游、購物、用電、水費、用氣、電信等問題的方案設計，弄清各類問題中的等量關系，掌握用方程來解決一些生活中的實際問題的技巧．基本思路：找準數(shù)量關系式，先求出兩種方案成本相等的那個值a，然后比較得出結論，大于a，哪種方案合算；小于a，則另一種方案合算。,例：小明為書房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選擇，其中一種是10瓦（即0.01千瓦）的節(jié)能燈，售價78元/盞；另一種是60瓦（即0.06千瓦），售價為26元/盞，假設兩種燈的照明亮度一樣，使用壽

36、命都可以達到2800十時，已知小明家所在地的電價是每千瓦0.52元 （1）設照明時間是x小時時，請用含x的代數(shù)式表示用一盞節(jié)能燈的費用和用一盞白熾燈的費用（注：費用=燈的售價+電費）； （2）小明在這兩種燈中選購一盞，①當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多；②當x=1500小時時，選用 _________ 燈的費用低； 當x=2500小時時，選用 _________ 燈的費用低；③由①②猜想：當照明時間 ______

37、___ 小時時，選用白熾燈的費用低；當照明時間 _________ 小時時，選用節(jié)能燈的費用低；（3）小明想在這兩種燈中選購兩盞，假定照明時間是3000小時，每盞燈的使用壽命是2800小時，請你幫他設計費用最低的選燈方案，并說明理由．,解：（1）用一盞節(jié)能燈的費用是（78+0.0052x）元， 用一盞白熾燈的費用是（26+0.0312x）元；,例：小明為書房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選擇，其中一種是10瓦（即0.01千瓦）

38、的節(jié)能燈，售價78元/盞；另一種是60瓦（即0.06千瓦），售價為26元/盞，假設兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達到2800十時，已知小明家所在地的電價是每千瓦0.52元 （1）設照明時間是x小時時，請用含x的代數(shù)式表示用一盞節(jié)能燈的費用和用一盞白熾燈的費用（注：費用=燈的售價+電費）；,（2）小明在這兩種燈中選購一盞，①當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多；②當x=1500小時時，選用 _________ 燈的費用低

39、； 當x=2500小時時，選用 _________ 燈的費用低；③由①②猜想：當照明時間 _________ 小時時，選用白熾燈的費用低；當照明時間 _________ 小時時，選用節(jié)能燈的費用低；,（2）①由題意，得78+0.0052x=26+0.0312x，解得x=2000， 所以當照明時間是2000小時時，兩種燈的費用一樣多． ②當x=1500小時， 節(jié)能燈的費用是78+0.0052x=85.8元

40、， 白熾燈的費用是26+0.0312x=72.8元， 所以當照明時間等于1500小時時，選用白熾燈費用低． 當x=2500小時， 節(jié)能燈的費用是78+0.0052×2500=91元， 白熾燈的費用是26+0.0312×2500=104元， 所以當照明時間等于2500小時時，選用節(jié)能燈費用低． ③當照明時間小于2000小時時，選用白熾燈的費用低； 當照

41、明時間大于2000小時時，選用節(jié)能燈的費用低；,（3）分下列三種情況討論：①如果選用兩盞節(jié)能燈，則費用是78×2+0.0052×3000=171.6元；②如果選用兩盞白熾燈，則費用是26×2+0.0312×3000=145.6元；③如果選用一盞節(jié)能燈和一盞白熾燈，由（2）可知，當照明時間＞2000小時時，用節(jié)能燈比白熾燈費用低，所以節(jié)能燈用足2800小時時，費用最低．費用是78+0.0

42、052×2800+26+0.0312×200=124.8元．綜上所述，應各選用一盞燈，且節(jié)能燈使用2800小時，白熾燈使用200小時時，費用最低．,（3）小明想在這兩種燈中選購兩盞，假定照明時間是3000 小時，每盞燈的使用壽命是2800小時，請你幫他設計費用 最低的選燈方案，并說明理由．,練習：,1.某牛奶廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；

43、制成奶片銷售，每噸可獲取利潤2000元；該工廠的生產(chǎn)能力是：如果制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片，每天可加工1噸，受人員限制，兩種加工方式不能同時進行；受氣溫限制，這批牛奶必須在4天內全部銷售或加工完畢。為此，該廠設計了兩種方案，方案一：盡可能多地制成奶片，其余的直接銷售鮮奶；方案二：將一部分制成奶片，其余的制成酸奶銷售，并恰好4天完成，你認為選擇哪種方案獲利多呢？,解：方案一：盡可能多地做奶片，可做 噸，

44、 獲利 元. 方案二：設x天生產(chǎn)奶片，則 天生產(chǎn)酸奶， 列方程得 . 解得x= . ∴生產(chǎn)奶片 噸，生產(chǎn)酸奶 噸， 共獲利 元.（或設x噸鮮奶制成奶片，則其余 噸鮮奶制成酸奶， 列方程得

45、 . 解得 x= . ∴共獲利 元.） ∵ ， ∴ .,4,10500,（4-x）,1.5,1.5,7.5,12000,（9-x）,x+3（4-x）=9,1.5,12000,10500＜12000,應選擇方案二可獲利最多,2.某市百貨商店元月一

46、日搞促銷活動，購物不超過200元不給優(yōu)惠；超過200元，而不足500元按9折優(yōu)惠；超過500元，其中500元按9折優(yōu)惠，超過部分按8折優(yōu)惠，某人兩次購物分別用了134元和466元，問：（1）此人兩次購物，其所購物品打折前是多少錢？（2）在此活動中，他節(jié)省了多少錢？（3）若此人將兩次購物的錢合起來購相同的商品，能省 錢嗎？說明你的理由。,解：（1）∵134÷0.9＜200元，所以134元購物

47、 并無打折。 設購物用466元時商品不打折價格為x， 當x＜500時， 0.9x=466 x＞500 此時不成立 當x＞500時，有500×0.9+（x-500）×0.8=466 x=520元綜上得：兩種商品不打折時價值分別為134元，520元.（2）他在本次活動中節(jié)?。海?34+520）-（134+466）=54元（3）若此人將兩次購物的錢合起來購相同的商品付款： 5

48、00×0.9+（134+520-500）×0.8 =450+123.2=573.2元 與上次花銷相比：573.2-600=-26.8元 根據(jù)上式可得如果兩次合起來購買可比分開購買節(jié)約26.8元.,圖1是邊長為30cm的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2所示的長方體盒子，已知該長方體的寬是高的2倍，則它的體積是多少？,幾何圖形問題,解：設長方體的高為xcm，然后表示 出其寬為（3