與圖形與幾何有關(guān)的核心素養(yǎng)及思想方法(

1、與圖形與幾何有關(guān)的核心素養(yǎng)及思想方法,王永春,中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng),學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。研究學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的一項(xiàng)重要舉措，也是適應(yīng)世界教育改革發(fā)展趨勢、提升我國教育國際競爭力的迫切需要。 中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，以科學(xué)性、時(shí)代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會(huì)參與三個(gè)方面。 綜合表

2、現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，具體細(xì)化為國家認(rèn)同等十八個(gè)基本要點(diǎn)。根據(jù)這一總體框架，可針對(duì)學(xué)生年齡特點(diǎn)進(jìn)一步提出各學(xué)段學(xué)生的具體表現(xiàn)要求。,,社 會(huì) 參 與,自 主 發(fā) 展,文化基礎(chǔ),全面發(fā)展的人,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)健康生活,人文底蘊(yùn)科學(xué)精神,責(zé)任擔(dān)當(dāng) 實(shí)踐創(chuàng)新,中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系,,（一）高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)

3、，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體。,2024/3/26,高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與課程目標(biāo),,（二）課程目標(biāo) 通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想

4、、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”）；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析世界，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。,2024/3/26,小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)2011版課標(biāo)：四基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四能：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題十大核心概念：數(shù)感、

5、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。把基本和重要的數(shù)學(xué)思想，上升到面對(duì)世界的高度：三會(huì),我們先從中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)（如下）開始分析，從中可以發(fā)現(xiàn)，如果每個(gè)學(xué)科都從自己學(xué)科內(nèi)部角度界定本學(xué)科核心素養(yǎng)，那么各學(xué)科核心素養(yǎng)主要集中在文化修習(xí)這個(gè)維度，其他兩個(gè)維度中的責(zé)任擔(dān)當(dāng)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活的一

6、部分等，可能會(huì)成為少人問津的真空地帶，即各學(xué)科核心素養(yǎng)的交集為0（如下左圖）。也就是說，各學(xué)科在制定本學(xué)科的核心素養(yǎng)時(shí)，不能完全從學(xué)科本位的角度考慮、不能只掃門前雪，應(yīng)該站在中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的高境界思考問題，即每個(gè)學(xué)科承擔(dān)更多的公共責(zé)任和義務(wù)。這樣的學(xué)科核心素養(yǎng)才是有境界的、有內(nèi)涵的、有擔(dān)當(dāng)?shù)?，否則各學(xué)科還有可能重蹈覆轍，在各自的小圈子里搞應(yīng)試教育。,關(guān)于學(xué)科核心素養(yǎng)的制定，反應(yīng)了學(xué)科教育的一種思想和理念，從世界一些發(fā)達(dá)國家各學(xué)科的

7、核心素養(yǎng)中可以看出他們的理念和豐富內(nèi)涵。 德國數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為：數(shù)學(xué)證明、數(shù)學(xué)的解決問題、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)用數(shù)學(xué)表達(dá)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式和技巧、數(shù)學(xué)交流。 美國數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)問題解決、推理與證明、交流、關(guān)聯(lián)、表征。 韓國高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為：問題解決、推理、創(chuàng)新·融合、思想溝通、信息處理、態(tài)度和實(shí)踐。 從以上幾個(gè)發(fā)達(dá)國家的學(xué)科核心素養(yǎng)可以發(fā)現(xiàn)，交流是各個(gè)國家各個(gè)學(xué)科都特別重視的，超越了學(xué)科知識(shí)本位的

8、思想局限，沒有完全站在學(xué)科內(nèi)部考慮，而是體現(xiàn)了學(xué)生總體的核心素養(yǎng)。,綜上所述，中國學(xué)生的各學(xué)科核心素養(yǎng)應(yīng)該站在中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的時(shí)代高度考慮，具有大局觀念、大視野，即各學(xué)科核心素養(yǎng)的交集才會(huì)盡可能地大（見上右圖），或者最大公約數(shù)盡可能地大，這樣中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)才會(huì)全面落實(shí)。 據(jù)此我們認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在理解數(shù)學(xué)核心概念、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系的基礎(chǔ)上形成的，具有可持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和交流、表達(dá)、解決現(xiàn)實(shí)世界實(shí)際

9、問題的思想和能力。 根據(jù)小學(xué)生的年齡和認(rèn)知特點(diǎn)、教師對(duì)核心素養(yǎng)的理解及教學(xué)的可行性，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直接提煉成數(shù)學(xué)思想對(duì)于學(xué)生和教師而言，落實(shí)起來是有難度的，因此在四基、四能、十大核心概念和高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，我們從數(shù)學(xué)認(rèn)知、思想能力、個(gè)人發(fā)展三個(gè)維度構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),,思 想 能 力,個(gè) 人 發(fā)展,核心素養(yǎng)從哪里來？ 數(shù)學(xué)認(rèn)知,具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人,思考自學(xué)合作交流創(chuàng)新實(shí)

10、踐,數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)規(guī)律數(shù)學(xué)關(guān)系,數(shù)學(xué)抽象 運(yùn)算推理 數(shù)學(xué)模型 直觀想象 數(shù)據(jù)分析 轉(zhuǎn)化思想,,核心素養(yǎng)到哪里去？核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn),核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手段又是目標(biāo),核心素養(yǎng)內(nèi)涵是什么？,小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系,數(shù)學(xué)認(rèn)知水平：了解、理解、掌握、運(yùn)用（只見樹木、不見森林） 分析與綜合 評(píng)價(jià)、創(chuàng)造(數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)沒有

11、高級(jí)認(rèn)知目標(biāo))數(shù)學(xué)概念：概念是關(guān)系、規(guī)律、思想方法的基礎(chǔ)。 有研究表明：對(duì)數(shù)學(xué)概念的表征水平與數(shù)學(xué)成績呈正相關(guān)。表征（representation）是信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式。也可以用“表示”，更容易理解。,數(shù)學(xué)認(rèn)知,多元表征是加強(qiáng)學(xué)生理解知識(shí)的有效方式。 有研究表明，高中生對(duì)數(shù)學(xué)概念的表征（理解）水平，多數(shù)通過具體例子、畫圖（像）和描述性語言表征，如單調(diào)增函數(shù)的概念，有52.63%的學(xué)生通過畫函數(shù)圖像、28.42

12、%的學(xué)生通過描述性語言表征；只有3.16%的學(xué)生能夠用定義表征。,高中學(xué)生數(shù)學(xué)成績與數(shù)學(xué)概念表征水平（單個(gè)表征的層次水平和多元表征水平）有顯著正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0.52.初三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與數(shù)學(xué)概念表征水平相關(guān)系數(shù)是0.637. 為了提高數(shù)學(xué)成績，要堅(jiān)強(qiáng)多元表征，同時(shí)要適時(shí)抽象。直觀與抽象形影不離。當(dāng)然，抽象的定義不能直接灌輸給學(xué)生，而是由學(xué)生自己經(jīng)歷建構(gòu)概念的過程。 概念意象（表象）與概念定義都重要，但是基于很多優(yōu)秀的

13、學(xué)生也經(jīng)常用直觀的方式（概念意象、表象）表示概念。所以不必讓學(xué)生死記硬背定義，關(guān)鍵是概念的各種表征方式的關(guān)聯(lián)，以及概念的運(yùn)用。,圖形中高的概念的建立,1.生活中的高2.平行四邊形的高、梯形的高3.三角形的高4.長方體的高5.圓柱的高6.圓錐的高案例：2017年5月福州人教版觀摩交流會(huì)，黑龍江哈爾濱王均杰執(zhí)教的：認(rèn)識(shí)三角形,,,,,數(shù)學(xué)規(guī)律：性質(zhì)、法則、定律、公理、定理等，是運(yùn)算和推理的依據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系：模型（公式、數(shù)量關(guān)

14、系式、方程、函數(shù)等） 關(guān)聯(lián)（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）、無理數(shù)，圖形之間的關(guān)系，數(shù)與形數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科等） 結(jié)構(gòu)化（知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)）為什么數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，而不是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)？因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是屬于數(shù)學(xué)的，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是屬于學(xué)生的。,數(shù)學(xué)認(rèn)知,學(xué)習(xí)除法認(rèn)識(shí)了一棵楊樹,學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)了一棵柳樹,學(xué)習(xí)比認(rèn)識(shí)了一棵梧桐樹,都學(xué)習(xí)了要看到一片森林！a÷b=

15、 = a : b(b≠0),分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 類推 分式的基本性質(zhì)蘊(yùn)含了豐富的思想方法：變中有不變的思想、恒等變形方法、數(shù)形結(jié)合方法、關(guān)聯(lián)思想（普遍聯(lián)系）、類比推理方法,a÷b = = a : b(b≠0)商不變規(guī)律 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 比的基本性

16、質(zhì),?初中的圖形與幾何：?初中主要研究圖形的性質(zhì)和判定，其中概念是基礎(chǔ)?什么是性質(zhì)——組成要素（邊、角）之間的關(guān)系（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）如三角形的三條邊、三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)是基本要素，高、中線、中位線、角平分線、外角等是相關(guān)要素，相交、平行、垂直是位置關(guān)系，內(nèi)角和是180°、a+b>c等是數(shù)量關(guān)系。?什么是判定——組成要素需要具備的條件?性質(zhì)和判定的互逆關(guān)系?從一般到特殊研究圖形,數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)概念、關(guān)

17、系、規(guī)律是數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)和載體。數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量及數(shù)量關(guān)系、圖形及關(guān)系的數(shù)學(xué)屬性的提取概括。 在數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過程中，始終伴隨著抽象，但是有意識(shí)與無意識(shí)地抽象是有區(qū)別的，有意識(shí)去抽象有利于學(xué)生思維的發(fā)展。圖形的抽象，從生活情境中抽象出圖形是共性，理解概念，用不同方式表征概念，理解、探索性質(zhì)、公式如無論什么形狀的圖形，度量的本質(zhì)都是求這個(gè)圖形里含有多少個(gè)度量單位（單位1）,符號(hào)思想是模型思想、方程思想、函數(shù)思想、推理思想

18、 的基礎(chǔ)。有利于從本質(zhì)上理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)。,推理思想： 　推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借

19、經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當(dāng)前提為真時(shí)，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。,案例3：如下左圖，兩條直線相交形成4個(gè)角，你能說明∠2=∠4嗎？,分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”來證明對(duì)頂角相等。那么，在小學(xué)階段，如何根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行簡單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于180度，再根據(jù)等量代換等知識(shí)就可以證明。下面給出最簡單的證明：因?yàn)椤?和∠2、∠1和∠4分別組成平角，

20、所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據(jù)加減法各部分間的關(guān)系，可得 ∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據(jù)等量代換，可得∠2=∠4。再看右上圖，在初中要證明三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，在小學(xué)階段同樣可以類似地得到證明。,（2012?杭州）有一組互不全等的三角形，它們的邊長均為整數(shù)，每個(gè)三角形有兩條邊的長分別為5和7．（1）請(qǐng)寫出其中一個(gè)三角形

21、的第三邊的長；（2）設(shè)組中最多有n個(gè)三角形，求n的值；（3）當(dāng)這組三角形個(gè)數(shù)最多時(shí)，從中任取一個(gè)，求該三角形周長為偶數(shù)的概率．分析：利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，進(jìn)行關(guān)系推理。可列舉出第三邊的長：11，10，9，8，7，6，5，4，3。 兩邊的和： 5+7=12， 第三邊為偶數(shù)：10，8，6，4. 概率為：4/9.,四下練習(xí)：,關(guān)系推理、分類討論思想：開放題：一個(gè)

22、等腰三角形的兩條邊長分別5cm和6cm, 求周長。分類討論：（1）腰6、底邊5，C=6×2+5=17（2）腰5、底邊6，C=5×2+6=16一個(gè)等腰三角形的兩條邊長分別1cm和3cm, 求周長。只有一種情況。,證明的兩種方法：綜合法和分析法 綜合法：根據(jù)已知條件和規(guī)律，能推出什么？ 分析法：從問題（需要證明的結(jié)論）出發(fā)，尋找條件

23、。小升初試題,長方形BCFE的面積=9×2=18. 所以ABCD的面積=18×4=72BC×CD=9×CD=72，所以CD=8，DF=CD-CF=8-2=6， AE=DF=6.,歸納法在小學(xué)運(yùn)用廣泛。 類比法是非常重要的，應(yīng)該加強(qiáng)。如與平面圖形推導(dǎo)面積計(jì)算公式類比， 立體圖形的體積就是求一個(gè)立體圖形含有多少個(gè) 單位正方體（棱長為1的正方體）再如，通過四邊形的對(duì)角線把一

24、個(gè)四邊形轉(zhuǎn)化為 2個(gè)三角形，求出四邊形的內(nèi)角和是360°.五邊形、六邊形等都可以與四邊形進(jìn)行類比、歸納出多邊形的內(nèi)角和公式。 在數(shù)學(xué)各個(gè)模塊的學(xué)習(xí)中，初次學(xué)習(xí)用歸納法，第二次及以上的學(xué)習(xí)用類比方法！當(dāng)然，中學(xué)的很多命題或者結(jié)論需要用演繹推理證明。,運(yùn)算能力:計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算長度（周長）、角、面積、體積等的計(jì)算，不追求復(fù)雜，但是簡單的計(jì)算要熟練掌握。,2015北京中考數(shù)學(xué)題：計(jì)算與推理加強(qiáng)聯(lián)系

25、，減少計(jì)算的量和繁瑣程度張景中院士：推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理,平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用問題,直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),2016年：南昌,2014河南：加強(qiáng)計(jì)算中的推理,Rt?OAB,AB=4,AO=6/2=3,BO=5,BD=10。,空間觀念（想象）雖然義務(wù)教育階段以平面幾何為主。但是仍然要重視空間（一維、二維、三維）觀念的培養(yǎng)。 主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物

26、體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?？臻g知覺 空間觀念 空間想象,,,數(shù)學(xué)教學(xué)：傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育重視思維訓(xùn)練，那么， 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)系是什么？哲學(xué)：認(rèn)識(shí)的過程：感性 理性，實(shí)踐 理論 實(shí)踐心理學(xué)：認(rèn)知過程：感覺 知覺 注意 記憶 思維 想象思維

27、的過程：分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、系統(tǒng)化思維的形式：概念、判斷、推理思維的分類：直觀動(dòng)作思維、具體形象思維、抽象邏輯思維 形式邏輯、辯證邏輯數(shù)學(xué)思維：本來應(yīng)該是十分豐富的，但現(xiàn)實(shí)往往就是抽象邏輯推理和復(fù)雜計(jì)算，分析抽象的數(shù)量關(guān)系。,概念是思維的基本形式，也是判斷、推理的基

28、礎(chǔ)空間能力既需要以表象為基礎(chǔ)，也需要理解概念，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行判斷和推理，想象。,觀察：實(shí)物、幾何體、直觀圖，比較異同操作：拼擺、折疊、裁剪、測量、活動(dòng)、展開圖、制作、畫圖 幾何畫板等現(xiàn)代技術(shù)的運(yùn)用概念：多元表征判斷、推理：想象：,拼擺：各種基本平面及立體圖形、七巧板、三角板等,折疊：,2016年：烏蘭浩特 加強(qiáng)推理與計(jì)算的融合 折疊就是軸對(duì)稱，

29、 DQ=AQ=9-BQ，（9-BQ）²=BQ²+3²，BQ=4,裁剪：,畫圖：,2017年全國小學(xué)數(shù)學(xué)人教版觀摩交流會(huì)廣東汕頭林清老師：線段、直線、射線,幾何直觀（1）什么是幾何直觀？　　幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮

30、著重要作用。 幾何直觀與數(shù)形結(jié)合的關(guān)系：以形助數(shù)，以數(shù)解形。（2）幾何直觀的應(yīng)用　 幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)本身需要借助直觀，其他知識(shí)更需要借助直觀：數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等，如數(shù)形結(jié)合：線段圖、圖形、樹狀圖、數(shù)軸、函數(shù)圖像、統(tǒng)計(jì)圖表等 高中和大學(xué)的微積分也離不開數(shù)形結(jié)合。,從幾何直觀到推理論證是研究幾何圖形的重要方法如平行四邊形，通過對(duì)角線，轉(zhuǎn)化為三角形和平行線等知識(shí)。那么就可以利用研究三角形和平行線的方法研究平行四邊形。1.

31、性質(zhì)：組成要素及關(guān)系？2.判定：通過小學(xué)的觀察、測量、實(shí)驗(yàn)操作等幾何直觀的方法初步得到結(jié)論，如何證明？,第一、二、三學(xué)段，幾何直觀、合情推理與演繹推理證明相結(jié)合，從實(shí)驗(yàn)幾何、直觀幾何逐步過渡到論證幾何。觀察、測量、實(shí)驗(yàn)、探究、歸納、類比得出結(jié)論，通過演繹推理證明結(jié)論，逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。推理論證不僅是證明或推翻猜想，也是發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的重要手段。循序漸進(jìn)安排推理論證：“說點(diǎn)兒理”“說理”“簡單推理”“符號(hào)表示推理”,知道

32、內(nèi)角畫不同類型三角形明確問題（結(jié)論）可猜想，再測量計(jì)算由平角引導(dǎo)學(xué)生把內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成平角操作（實(shí)驗(yàn)）驗(yàn)證歸納結(jié)論滲透：內(nèi)錯(cuò)角、同位角相等初中會(huì)用更加嚴(yán)格的方法證明。,七下平行線的判定、性質(zhì)，命題、定理、證明,已有知識(shí)：三角形內(nèi)角和=180°平角=180°平行線的性質(zhì)、判定引導(dǎo)學(xué)生把內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成平角利用了平行線的判定為作輔助線提供依據(jù)和鋪墊。右邊的更好理解，左邊的兩個(gè)角的邊共線，要用到平

33、行公理。,輔助線就像方程中的未知數(shù)X再利用平行線的性質(zhì)內(nèi)錯(cuò)角相等感悟推理證明的思想方法,剪拼的右圖：相當(dāng)于把∠2向右平移根據(jù)平移的性質(zhì)：平移前后圖形的大小、現(xiàn)狀完全相同，所以∠2= ∠5，所以AB∥L，所以∠1= ∠4.這樣輔助線L就很自然得出。,幾何直觀與數(shù)形結(jié)合的關(guān)系。（1）數(shù)形結(jié)合思想。　數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)和形是客觀事物不可分離的兩個(gè)數(shù)學(xué)表象，兩者既是對(duì)立的又是統(tǒng)一的．?dāng)?shù)

34、學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”數(shù)與形的對(duì)立統(tǒng)一主要表現(xiàn)在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化和互相結(jié)合上。尤其是直角坐標(biāo)系與幾何的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。 數(shù)形結(jié)合有兩個(gè)方面： A. 以形助數(shù)。 B. 以數(shù)解形。,（2）利用圖形描述和分析問題，這個(gè)問題包括幾何本 身的問題。 加強(qiáng)操作、觀察、想象、操作，是培養(yǎng)空間觀念的有效方法。 長方體、正方體展開圖也要加強(qiáng)用這些方