第4講 函數(shù)與方程的思想方法

1、1第4講函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)與方程的思想方法一、知識(shí)整合函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)y＝0通過(guò)方程進(jìn)行研究。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題：二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)

2、造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.許多有關(guān)方程的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問(wèn)題也可以用方程的方法來(lái)解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)。1函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或

3、函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題。2方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.3(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＝0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看做二

4、元方程y－f(x)＝0。函數(shù)問(wèn)題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)求解，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)。(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開(kāi)解不等式。(3)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問(wèn)題十分重要。(4)函數(shù)f(x

5、)＝（n∈N）與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)nbax)(?用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問(wèn)題。(5)解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。3恒成立，求x的取值范圍。xmmxx4242????解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]221原題轉(zhuǎn)化為：0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）2)2()2(???xxm當(dāng)x＝2時(shí)，

6、不等式不成立?！鄕≠2。令g(m)＝，m∈[，3]2)2()2(???xxm21問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對(duì)于0，則：；21???????0)3(0)21(gg解得：x2或x－1評(píng)析首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個(gè)字母變量的問(wèn)題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。例3為了更好的了解鯨的生活習(xí)性，某動(dòng)物保護(hù)組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測(cè)裝置，從

7、海洋放歸點(diǎn)A處，如圖（1）所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對(duì)它進(jìn)行了長(zhǎng)達(dá)40分鐘的跟蹤觀測(cè)，每隔10分鐘踩點(diǎn)測(cè)得數(shù)據(jù)如下表（設(shè)鯨沿海面游動(dòng)），然后又在觀測(cè)站B處對(duì)鯨進(jìn)行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測(cè)，已知AB＝15km，觀測(cè)站B的觀測(cè)半徑為5km。觀測(cè)時(shí)刻t（分鐘）跟蹤觀測(cè)點(diǎn)到放歸點(diǎn)的距離a（km）鯨位于跟蹤觀測(cè)點(diǎn)正北方向的距離b（km）1010.9992021.4133031.7324042.001(1)據(jù)表中信息：①計(jì)算出鯨沿海岸線

8、方向運(yùn)動(dòng)的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關(guān)系式并畫出鯨的運(yùn)動(dòng)路線草圖；（2）若鯨繼續(xù)以（1）－②運(yùn)動(dòng)的路線運(yùn)動(dòng)，試預(yù)測(cè)，該鯨經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間（從放歸時(shí)開(kāi)設(shè)計(jì)時(shí)）可進(jìn)入前方觀測(cè)站B的觀測(cè)范圍？并求出可持續(xù)觀測(cè)的時(shí)間及最佳觀測(cè)時(shí)刻。（注：≈6.40；精確到1分鐘）41解析（1）由表中的信息可知：①鯨沿海岸線方向運(yùn)動(dòng)的速度為：（km分鐘）101②a、b近似地滿足的關(guān)系式為：運(yùn)動(dòng)路線如圖ab?（2）以A為原點(diǎn)，海岸線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)鯨