中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

1、第四章　中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ),“初等數(shù)學(xué)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)，是在形式邏輯的范圍內(nèi)活動(dòng)的，至少總的來說是這樣?！保鞲袼剐问竭壿嬍茄芯克季S形式(概念、判斷、推理、證明)及其規(guī)律(同一律、矛盾律、排中律、充足理由律)的一門科學(xué)，數(shù)學(xué)有其自身特有的邏輯系統(tǒng)，具有嚴(yán)密的邏輯性。對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，首先應(yīng)該掌握中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)。,第四章　中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ),§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題§

2、4.3　形式邏輯的基本規(guī)律§4.4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué)§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,一、概念的意義1、概念：是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。2、數(shù)學(xué)概念：現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映。3、從數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的客觀背景來說，一般有兩種情形：⑴直接從客觀事物的空間形式或數(shù)量關(guān)系反映來的

3、。如幾何中的點(diǎn)的概念，算術(shù)中的自然數(shù)概念等。⑵在原有的數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多層次的抽象概括而形成的。如近代數(shù)學(xué)中的群、環(huán)、域概念等。4、數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)：⑴數(shù)學(xué)概念具有抽象性與具體性。⑵數(shù)學(xué)概念具有相對(duì)性與發(fā)展性。⑶數(shù)學(xué)概念的定義、名詞、符號(hào)“三位一體”，處于一個(gè)完整的科學(xué)體系之中。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,二、概念的結(jié)構(gòu)1、概念分為概念的內(nèi)涵和概念的外延兩部分內(nèi)涵：是指表達(dá)這個(gè)概念所包含的所有對(duì)象的共同屬性的總

4、和(或集合)。反映了概念的質(zhì) 外延：概念所反映事物的范圍(或集合)。即適合這個(gè)概念的一切對(duì)象的全體。反映了概念的量 2、概念的內(nèi)涵和外延的關(guān)系⑴內(nèi)涵擴(kuò)大，則外延縮小。叫做概念的限定。通常為了加深對(duì)某個(gè)概念認(rèn)識(shí)或用較一般的概念來說明特殊的概念。⑵內(nèi)涵縮小，則外延擴(kuò)大。叫做概念的概括。從特殊的概念認(rèn)識(shí)一般的概念，或者為了認(rèn)識(shí)同類概念的共同性質(zhì)。⑶只有在兩個(gè)概念有從屬關(guān)系時(shí)才成立。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,三、概念間的關(guān)系

5、概念間的關(guān)系是指概念的外延間的關(guān)系 1、同一關(guān)系：兩概念外延完全重合。2、交叉關(guān)系：有且只有一部分外延重合。3、從屬關(guān)系：一個(gè)概念的外延完全包含在另一個(gè)概念的外延之中。⑴在從屬關(guān)系中外延大的概念叫做上位概念(或種概念)，外延小的概念叫做下位概念(或類概念)。矩形菱形兩組對(duì)邊平行有一個(gè)角是直角四邊形平行四邊形⑵類差：一個(gè)概念的本質(zhì)屬性中用以區(qū)別于其它的類概念的屬性，叫做類差。4、矛盾關(guān)系：兩個(gè)概念外延互相排斥，但外延之和等于

6、其最鄰近的種概念的外延。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,四、概念的定義1、給概念下定義:用已知的概念來認(rèn)識(shí)未知概念，使未知的概念轉(zhuǎn)化為已知的概念，叫做給概念下定義。概念的定義都是由下定義的概念(已知概念)與被下定義的概念(未知概念)這兩部分組成。⑴定義是建立概念的邏輯方法。⑵下定義的模式有兩種：一是通過揭示概念的內(nèi)涵來給出定義，二是通過揭示概念的外延來給出定義。2、定義的幾種方式⑴“種+類差”定義法：根據(jù)概念的從屬關(guān)系，規(guī)

7、定被定義概念的上位概念中是鄰近的種概念，然后指出被定義概念在它的種概念里區(qū)別于其他類概念的本質(zhì)屬性的一種定義方法。如平行四邊形。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,四、概念的定義2、定義的幾種方式⑵發(fā)生定義：把只屬于被定義事物，而不屬于其它任何事物的發(fā)生或形成的特有屬性作類差的定義。如：代數(shù)式的值的定義。平面(空間)上與定點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡叫做圓(球)。圓柱、圓錐、微分、積分、坐標(biāo)系等。⑶逆式定義法：是通過列舉概念的全部對(duì)象，即給

8、出概念外延的定義法。也叫做歸納定義法或外延定義法。在外延定義中，DS是種，而DP是DS諸鄰近類概念的總和。如：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，實(shí)數(shù)的定義；正弦、余弦、正切、余切函數(shù)叫做三角函數(shù)；橢圓、雙曲線、拋物線叫做圓錐曲線；邏輯的和、非、積運(yùn)算叫做邏輯運(yùn)算等。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,四、概念的定義2、定義的幾種方式⑷約定式定義：依據(jù)數(shù)學(xué)上的某種特殊需要，通過約定的方式來下的定義。這種定義方法，一般是利用意義已經(jīng)確定的表達(dá)式，

9、去規(guī)定新引入的表達(dá)式的意義。如：為了使同底數(shù)冪的除法法則，在被除式的指數(shù)等于除式指數(shù)時(shí)也能適用，把“零指數(shù)”的概念規(guī)定為：a0=1（a≠0）；0！=1。⑸關(guān)系定義：是以事物間的關(guān)系作為類差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其它事物所不具有的特有屬性。如：偶數(shù)的定義。偶數(shù)：能被2整除（A）的整數(shù)（B）叫做偶數(shù)（C）。其中A是B和C的關(guān)系。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,四、概念的定義2、定義的幾種方式⑹其它定義方法：

10、遞歸定義(遞推式定義法。如 n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)、描述性定義法(如等式、極限的定義)公理定義法。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,四、概念的定義3、定義的規(guī)則⑴定義必須是相稱的。即定義項(xiàng)和被定義項(xiàng)的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大，也不能縮小，應(yīng)當(dāng)恰如其分。如無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，而不能用無限小數(shù)(過寬)和不盡方根(過窄)來定義無理數(shù)。⑵定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時(shí)

11、又以B概念來定義A概念。如：“加法是求幾個(gè)數(shù)和的方法”。900的角叫做直角。⑶定義應(yīng)當(dāng)清楚、簡明，一般不用否定形式和未知的概念。即定義要簡明扼要，所列定義項(xiàng)必須是確切的概念，不能用譬喻或其他含糊的說法代替定義。如：筆直筆直的線(不清楚)，叫做直線；兩組對(duì)邊互相平行的平面平行四邊形(不簡明)；不是有理數(shù)的數(shù)，叫做無理數(shù)(否定形式)。對(duì)初中生來說，在復(fù)數(shù)a+bi中，虛部b=0的數(shù)叫做實(shí)數(shù)(應(yīng)用未知概念)。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念

12、,五、概念的系列1、在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，有些概念可依一定順序構(gòu)成一個(gè)邏輯鏈，組成一個(gè)概念系列。2、原名：這種不能用別的概念（名稱）來定義的，且又用它來定義其他概念（名稱）的概念（名稱），叫做原始概念，簡稱為原名。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,六、概念的分類1、分類(劃分)的定義分類(劃分)是揭示概念外延的邏輯方法。2、分類的規(guī)則⑴分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。⑵分類應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行。⑶分類不重復(fù)，不遺漏、應(yīng)當(dāng)是相稱的。⑷分類后各

13、個(gè)子類應(yīng)當(dāng)互不相容。3、二分法二分法是按概念的對(duì)象有無某一屬來進(jìn)行的劃分。,§4.1　中學(xué)數(shù)學(xué)概念,思考與練習(xí)：1、閱讀2、寫出概念“鈍角”的關(guān)系定義，寫出“圓錐”的發(fā)生定義，寫出實(shí)數(shù)冪an(n=0、1、2….) 的遞歸定義，寫出不等邊三角形的否定式定義。3、給出“函數(shù)”概念的兩個(gè)不同的分類。4、何謂數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)概念的外延與內(nèi)涵？試舉例說明。5、數(shù)學(xué)概念之間有哪些關(guān)系？試舉例說明。習(xí)題P36 26、數(shù)學(xué)概念常

14、用的定義方式有哪些？正確的定義要符合哪些要求？習(xí)題P36 37、將數(shù)學(xué)概念分類有何意義？正確的分類應(yīng)符合哪些要求？習(xí)題P36 4。,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,一、判斷1、判斷的定義人們對(duì)客觀事物的情況有所肯定或者否定的思維形式，叫做判斷。 2、判斷的分類：按判斷的構(gòu)成，判斷分為簡單判斷和復(fù)合判斷⑴簡單判斷：在一個(gè)判斷中若不含其它判斷，則稱為簡單判斷。①性質(zhì)判斷：直接對(duì)客觀對(duì)象的性質(zhì)作肯定或否定的簡單判斷，叫做性質(zhì)判斷

15、。②關(guān)系判斷：判斷對(duì)象與對(duì)象之間存在某種關(guān)系的簡單判斷，叫關(guān)系判斷。⑵復(fù)合判斷：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷叫做復(fù)合判斷。有下面的四種基本形式：,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,一、判斷⑵復(fù)合判斷有下面的四種基本形式：A負(fù)判斷：用連接詞“非”構(gòu)成，記為¬P或，讀作“非P”。如：當(dāng)P表示“所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”（假），則¬P 表示“并非所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”，即“有些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)（真）”。B選言判

16、斷：由兩個(gè)或兩個(gè)以上判斷有用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，記為A∨B，讀作“A或B”。如：一個(gè)大于1的自然數(shù)是質(zhì)數(shù)或是合數(shù)；一個(gè)三角形為直角三角形，或?yàn)殁g角三角形，或?yàn)殇J角三角形。,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,一、判斷⑵復(fù)合判斷有下面的四種基本形式：C聯(lián)言判斷：用連接詞“且”構(gòu)成判斷，表明幾個(gè)事物情況都存在。記為A∧B，讀作“A且B”。如：6可以被2整除，且可被3整除；正方形的四條邊相等，且四個(gè)角也相等。D假言判斷：（又叫做蘊(yùn)含

17、判斷），是判斷P為另一判斷Q存在的條件的判斷，叫假言判斷。P、Q分別叫做該判斷的前件和后件（或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論），一般表達(dá)式為“若…..,則…..?！被颉叭绻?，那么…”。記成P →Q。如：若兩三角形相似，則對(duì)應(yīng)邊成比例。,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,二、命題1、命題的意義：表示判斷的語句叫做命題。①命題的形式：“若A則B”，或“A →B”，其中A為條件，B為結(jié)論。命題有真有假，有簡單命和復(fù)合命題。②常用的真命題：定義

18、、公理、定理、法則、性質(zhì)、推論等2、命題的演算和復(fù)合命題⑴否定（非）：否定命題P的內(nèi)容的命題，稱為P的否定。記為“¬P”，讀作“非P”，¬¬P=P 。⑵合?。ㄅc）：P、Q是兩個(gè)簡單命題，用連接詞“且”或“與”構(gòu)成的命題。P且Q叫做P和Q合取，記作“P∧Q”又稱聯(lián)言命題。特征為同真為真，否則為假。,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,二、命題2、命題的演算和復(fù)合命題⑶析?。ɑ颍簝蓚€(gè)命題P、Q用連接

19、詞“或”構(gòu)成的命題，P或Q”稱為P、Q的析取，記為“P∨Q”。特征為同假為假，否則為真。合取與析取的關(guān)系：¬（P∨Q）=（¬P）∨（¬Q）⑷蘊(yùn)含：兩個(gè)命題P、Q用連接詞“若、、、則、、、”構(gòu)成的命題?！叭鬚則Q”稱為P與Q的蘊(yùn)含，也稱為充分條件，假言命題，記為“P→Q”，P蘊(yùn)含Q 。特征為真的假不了，否則為真。⑸“等值” ：給定兩個(gè)命題P、Q，用連接詞“等值”、“等價(jià)”、“當(dāng)且僅當(dāng)”構(gòu)成的命題?！癙

20、等值于Q”叫做P、Q的等值命題。記作“P←→Q”，讀作“P等值Q”或“P當(dāng)僅當(dāng)Q”。,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,二、命題2、命題的演算和復(fù)合命題⑹復(fù)合命題：由幾個(gè)命題用否定、合取、析取、蘊(yùn)含、等值等演算得到的新命題叫做復(fù)合命題。 ⑺命題演算的應(yīng)用：P∧¬P是一個(gè)恒假命題，P∧Q→P是一個(gè)恒真命題。 ⑻命題的運(yùn)算律①冪等律： P∧P=P，P∨P=P②交換律：P∨Q=Q∨P，P∧Q=Q∧P③結(jié)合律：（P∨Q

21、）∨R= P∨（Q∨R），（ P∧Q）∧R= P∧（Q∧R）④分配律：P∨（Q∧R）= （P∨Q）∧（P∨R）　　　　　P∧（Q∨R）= （P∧Q）∨（P∧R）⑤吸收律：P∧（P∨Q）=P，P∨（P∧Q）=P,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,二、命題⑻命題的運(yùn)算律⑥德摩根律：¬（P∨Q）=（¬P）∧（¬Q）⑦雙重否定律：¬（¬P）=P⑧恒等律：P∨I=I，P∧I=P，P∧

22、0=0，P∨0=P⑨互補(bǔ)律：P∨¬P=I，P∧¬P=0⑩P→Q=¬P∨Q⑾（P∨Q）→R=（P→R）∧（Q→R）⑿（P∧Q）→R=P→（Q→R）3、命題的四種基本形式及其關(guān)系：給定命題P、Q，原命題：“若P則Q”或“P→Q”逆命題：“若Q則P”或“Q→P” 否命題：“若非P則非Q”或“¬ P→¬ Q”逆否命題：“若非Q則非P”或“ ¬Q→¬P”,&#

23、167;4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,二、命題具有逆否關(guān)系的命題是同真同假的，這種關(guān)系叫做等效關(guān)系或等效原理。三、逆命題的制造⑴如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論都是一個(gè)簡單命題，這時(shí)只須將條件和結(jié)論互換位置，就得到這個(gè)命題的逆命題，且逆命題只有一個(gè)。⑵如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論都不只是一個(gè)簡單命題，將條件和結(jié)論中的簡單命題任意換位可得到這個(gè)逆命題。⑶設(shè)條件中有m個(gè)簡單命題，結(jié)論中有n個(gè)簡單命題，則這命題的逆命題個(gè)數(shù)為∑∑CmiCnj=( Cm1

24、Cn1+ Cm1Cn2+…Cm1Cnn)+( Cm2Cn1 Cm2Cn2+…+ Cm2Cnn)+…+( CmmCn1+ CmmCn2…+ CmmCnn),§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,四、命題的同一原理1、同一原理：兩個(gè)互逆命題，如果條件和結(jié)論中所含事項(xiàng)都是唯一存在的，而且它們所指的是同一概念時(shí)，那么，當(dāng)其中一個(gè)命題正確時(shí)，另一個(gè)命題也是正確的，這叫做同一原理。即符合同一原理的兩個(gè)互逆命題是等效的，它們是同一法論證的邏輯根據(jù)。2

25、、充分條件和必要條件若“P→Q”是真命題，則稱P為Q成立的充分條件。如：“兩角是對(duì)頂角”是“兩角相等”成立的充分條件。若 “¬P →¬Q”是真命題，則稱P為Q成立的必要條件。若“sinα=sinβ→α=β”為假，而它的否命題“¬（sinα=sinβ）→¬（α=β）”為真，即 “sinα≠sinβ→α≠β”為真。充分必要條件：若“P→Q”和“¬P →¬Q”同真，即“P←→

26、Q”為真，稱P為Q的成立的充要條件?！爱?dāng)且僅當(dāng) ”、“必要且只要Q”、“必須且只須Q”,§4.2　中學(xué)數(shù)學(xué)命題,思考與練習(xí)：1、閱讀P14-222、命題有哪些基本形式，它們之間的關(guān)系如何？試舉例說明。習(xí)題P3663、用真值表證明下列命題成立。習(xí)題P37144、習(xí)題P3715,§4.3　形式邏輯的基本規(guī)律,一、同一律1、定義：在同一時(shí)間里，同一地點(diǎn)，同一思維過程中，所使用的概念和判斷必須確定，且前后保持一致

27、。2、表達(dá)公式：A→A?！癆就是A”3、根據(jù)同一律的內(nèi)容，它有兩個(gè)具體要求：⑴思維對(duì)象應(yīng)保持同一。就是說，在思維的過程中所考察的對(duì)象必須確定，要始終如一，不能中途變更。⑵表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。這就是說，在思維的過程中，要以同一概念表示同一思維對(duì)象，不能用不同的概念來表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起來用同一個(gè)概念來表示。4、違反同一律的錯(cuò)誤表現(xiàn)：思維混亂，前后不一。在概念中主要表現(xiàn)為偷換概念或所使用的概念不明確等；

28、在推理中主要是論題不明確或偷換論題。,§4.3　形式邏輯的基本規(guī)律,二、矛盾律1、定義：同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么。即在同一思維過程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同真，必有一假。2、表達(dá)公式：¬（A∧¬A）或“A不是非A”。3、矛盾律，實(shí)為“不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形式表達(dá)同一律內(nèi)容的。矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，其作用是排除思維中的自相矛盾，保持

29、思維的不矛盾性。這里所說的思維矛盾，是人們思想陷入混亂狀態(tài)或故意玩弄詭辯時(shí)所產(chǎn)生的邏輯矛盾。它與客觀事物本身所存在的矛盾是不同的。4、例：△ABC是銳角三角形與△ABC是鈍角三角形是兩個(gè)矛盾的判斷，其中一個(gè)正確，另一個(gè)必定錯(cuò)誤。但其中一個(gè)錯(cuò)誤，另一個(gè)未必正確，這是因?yàn)檫€存在其為銳角三角形的情形。,§4.3　形式邏輯的基本規(guī)律,三、排中律1、定義：同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維過程中，對(duì)同一對(duì)象必須作出明確的肯定或否定的判斷。

30、即在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。2、表達(dá)公式“A∨¬A”或“A或非A”。3、排中律要求：人們的思維有明確性，它是反證法的邏輯基礎(chǔ)。4、例如：A是無理數(shù)與是有理數(shù)5、矛盾律和排中律的聯(lián)系與區(qū)別：⑴聯(lián)系：都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)為假。無法確定真假。,§4.3　形式邏輯的基本規(guī)律,三、排中律5、矛盾律和排中律的聯(lián)系

31、與區(qū)別：⑵區(qū)別：矛盾律－兩個(gè)矛盾的判斷不能同真，必有一假。排中律－兩個(gè)矛盾的判斷不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，而排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。四、充足理由律1、定義：任何一個(gè)判斷，必須有充足理由，即對(duì)于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根據(jù)。2、表達(dá)公式：[A∧（A→B）] →B。若要有B，則必須有A，使得由A可以推出B。3、充足理

32、由律是進(jìn)行推理和證明的邏輯基礎(chǔ)，它與判斷有著密切的聯(lián)系。例如：在數(shù)學(xué)命題中，充分條件、充要條件都可以作為結(jié)論的充足理由，原定理可作為它的逆否命題的充足理由。,§4.3　形式邏輯的基本規(guī)律,四、充足理由律4、充足理由律和前面三個(gè)規(guī)律有著密切的聯(lián)系。同一律、矛盾律、排中律是為發(fā)保持同一判斷（或概念）本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了保持判斷之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和說服力。因此，在思維過程中，如果違反了同一律、矛盾律、排中律

33、，那么就必然導(dǎo)致違反充足理由律?？傊?，數(shù)學(xué)推理、證明必須要求對(duì)象確定（同一律），判斷不能自相矛盾（矛盾律），不模棱兩可（排中律），有充分根據(jù)（充足理由律）。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格遵守這些邏輯規(guī)律進(jìn)行思考的習(xí)慣，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。思考與練習(xí)：1、閱讀P22-242、形式邏輯有哪些基本規(guī)律，它們?cè)谕评砼c證明中應(yīng)如何進(jìn)行運(yùn)用？習(xí)題P377,§4.4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理,一、數(shù)學(xué)推理的意義和分類1、推理的意義

34、根據(jù)判斷間的關(guān)系，從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得到一個(gè)新判斷的思維過程（邏輯方法），叫做推理。2、推理的結(jié)構(gòu)包括前提和結(jié)論。所根據(jù)的已有判斷叫做推理的前提，作出的新判斷叫做推理的結(jié)論。正確的推理要求合乎邏輯形式，遵守推理規(guī)則。3、推理的類型⑴根據(jù)推理的結(jié)構(gòu)區(qū)分，推理分為簡單推理復(fù)雜推理。⑵根據(jù)前提的數(shù)量，推理分為直接推理和間接推理。,§4.4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理,二、數(shù)學(xué)中常用的一些推理1、歸納推理⑴定義：從個(gè)別或特殊的事

35、物所作判斷，擴(kuò)大為同類一般事物的判斷的思維過程，叫做歸納推理。⑵推理方向：特殊→一般⑶分類：①不完全歸納法：如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍，這種推理叫做不完全歸納法。不完全歸納法的邏輯公式：S1具有（或不具有）P S2具有（或不具有）P………………Sn具有（或不具有）P　　　　　　　S1、S2、。。。。Sn是A類事物的部分對(duì)象∴A類事物具有（或不具有）P,§4.4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理,②完全歸

36、納法：如果歸納推理的前提中一個(gè)或幾個(gè)判斷范圍的總和等于結(jié)論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納法。所得結(jié)論完全可靠，可作為數(shù)學(xué)中的一種嚴(yán)格的推理方法。但在應(yīng)用時(shí)，須注意前提的判斷范圍既不能重復(fù)，也不能遺漏，即前提判斷范圍的總和不能小于結(jié)論判斷的范圍。完全歸納法的邏輯公式：S1是（或不是）PS2是（或不是）P…………..SN是(或不是)P　　　　　　　　　　　　　　　　　S1 S2 SN是A類事物的全體,所以A類事物都是(或

37、不是)P,§4.4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理,2、類比推理⑴定義：是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個(gè)（或兩類）事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們?cè)趧e的性質(zhì)上也相同或相似的推理形式，叫做類比推理或類比法。⑵推論方向：特殊→特殊。⑶邏輯公式：A類事物具有性質(zhì)a、b、c、dB類事物具有性質(zhì)a、b、c　　　　　　　　　　所以B類事物具有性質(zhì)d，d叫做推移屬性 ⑷類比結(jié)論的可靠程度，依賴于兩個(gè)或兩類對(duì)象的共有屬性。一般來說，共有

38、屬性愈多，結(jié)論的可靠程度也就愈大；共有屬性是本質(zhì)的，結(jié)論的可靠程度愈高。,§4.4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理,3、演繹推理⑴定義：以某類事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個(gè)別、特殊事物的判斷的思維形式，叫做演繹推理。⑵推論方向：一般→特殊。⑶結(jié)構(gòu)：包括前提有兩個(gè)，結(jié)論有一個(gè)共三個(gè)判斷，基本形式是三段論。大前提－反映一般原理的判斷，小前提－反映個(gè)別對(duì)象與一般原理聯(lián)系的判斷，如果大前提、小前提都正確，則結(jié)論一定正確。,§4.

39、4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理,4、直接推理和間接推理⑴直接推理：指由一個(gè)條件推出結(jié)論的推理△ABC是等邊三角形，那么∠A=∠B=∠C⑵間接推理：①關(guān)系推理：②聯(lián)言推理： ③選言推理：④假言推理：,§4.4　中學(xué)數(shù)學(xué)推理,思考與練習(xí)：1、閱讀P25-272、什么是歸納推理、類比推理與演繹推理，如何正確進(jìn)行推理的運(yùn)用？試舉例說明。（習(xí)題P378）3、指出下列推理的邏輯錯(cuò)誤，并分析其原因（習(xí)題P3716）⑴實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)一

40、一對(duì)應(yīng)，是實(shí)數(shù)，所以與數(shù)軸上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)⑵是無理數(shù)，也是有理數(shù)⑶空間兩直線a.b是相交時(shí)的，也是平行的,,§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明,一、證明的意義與結(jié)構(gòu)1、證明的涵義用一些真實(shí)的判斷來確定某一判斷的真實(shí)性的思維過程（推理過程）叫做證明。2、證明的結(jié)構(gòu)任何證明由論題、論據(jù)、論證三部分組成。其中論題即所說結(jié)論，論據(jù)即證明的根據(jù)，論證即證明方式。3、數(shù)學(xué)證明的書寫格式：寫證明，習(xí)慣上分三部分，已知，求證，證明。書寫格式常用

41、有兩種：聯(lián)用式和推進(jìn)式。,§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明,二、證明的種類⑴根據(jù)證明的目的劃分：證明和反駁。⑵根據(jù)證明的方法劃分：直接證明和間接證明。直接證明：（a、b、c、…）→（k、n、m、…）→p間接證明：通過確定其他命題的虛假性導(dǎo)出論題的真實(shí)性的證明。分為：選言式和歸謬式⑶根據(jù)經(jīng)驗(yàn)材料在證明中的作用劃分，分為數(shù)字證明和經(jīng)驗(yàn)證明。⑷根據(jù)所用推理形式劃分：演繹證明和歸納證明。,§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明,三、證明的

42、規(guī)則1、論題必須明確2、論題應(yīng)當(dāng)始終同一3、論題必須是真實(shí)判斷4、論據(jù)的真實(shí)性不能以論題的真實(shí)性來證明。5、從論據(jù)中應(yīng)該能推出論題。,§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明,數(shù)學(xué)中常用的證明方法 1、分析法和綜合法⑴分析法：⑵綜合法：2、直接證法和間接證法⑴直接證法：⑵間接證法：①反證法：通過證明論題的反命題不真的間接證法稱為反證法。包括歸謬法，窮舉法。②同一法同一原理：如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論都唯一存在，而且它們所

43、指的概念是同一概念，那么這個(gè)命題與它的逆命題（或否命題）等效。同一法是根據(jù)同一原理，用證明命題的逆命題的真實(shí)性來證明命題的真實(shí)性的間接證法。,§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明,③反證法與同一法的區(qū)別方法不同。反證明法先否定結(jié)論，然后再予以反駁；同一法先作出（設(shè)定）符合命題結(jié)論的圖形（或算式），然后推證所作圖形（或算式）與已知圖形（或關(guān)系式）相同。根據(jù)不同。反證法的邏輯依據(jù)是排中律，利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性來證明；同一法的邏輯

44、依據(jù)是同一律，利用原命題與其逆命題的等價(jià)性來證明適用范圍不同。反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，只要能推出矛盾就行，而這個(gè)矛盾不一定由于圖形（或關(guān)系式）的“唯一存在性”而引起的。因此，反證法可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則的命題。,§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明,3、演繹證法和歸納證法⑴演繹證法就是演繹推理證明法。常用三段論證法（直接證法）⑵歸納證法：就是用完全歸納推理證明的方法。4、數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟

45、：（第一數(shù)學(xué)歸納法）第一步：證明當(dāng)n=1時(shí)，所給的命題是真的（歸納基礎(chǔ)）第二步：假設(shè)n=k（是自然數(shù)）對(duì)命題為真，進(jìn)而證明n=k+1也為真（歸納假設(shè)）第三步：根據(jù)皮亞諾公理可得對(duì)全體自然數(shù)，命題為真。,§4.5　中學(xué)數(shù)學(xué)證明,思考與練習(xí)：1、用分析法、綜合法、反證法分別證明下列不等式。a3+b3?。綼2b+ab2（a、b∈R，a＞0，b＞0） 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：⑴當(dāng)n≥5時(shí)，2n＞n2⑵ 能被2m整除。

46、3、習(xí)題P3818-20,§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué),一、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)1、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求：教師應(yīng)能準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵和外延，以及概念之間的有關(guān)系，使學(xué)生深刻理解概念，并能在解決各類問題時(shí)靈活運(yùn)用概念，即達(dá)到理解、鞏固、系統(tǒng)、會(huì)用概念的目的。2、在數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，應(yīng)努力做到：⑴重視概念的引入－現(xiàn)實(shí)性原則。⑵揭示概念的外延和內(nèi)涵－科學(xué)性原則。⑶講清概念的來龍去脈－系統(tǒng)性原則⑷注意概念之間的對(duì)比

47、－比較性原則。⑸加強(qiáng)概念的運(yùn)用－應(yīng)用性原則。,§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué),一、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)3、在教學(xué)方法上，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⑴認(rèn)識(shí)概念的重要性，切實(shí)加強(qiáng)概念教學(xué)。⑵重視問題的情境設(shè)計(jì)，提供概念的現(xiàn)實(shí)原型。⑶通過變式、變形、正反實(shí)例，揭示概念的科學(xué)內(nèi)涵。⑷抓住主要概念，選擇講解重點(diǎn)。⑸針對(duì)不同定義，采用不同教法。⑹激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，重在培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。,§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué),二、數(shù)學(xué)

48、命題的教學(xué)1、中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)的重要性中學(xué)數(shù)學(xué)是由概念、公理、定理、公式等組成的嚴(yán)密的邏輯體系。命題（公理、定理、公式等）是概念與概念的聯(lián)合。顯然，如不能切實(shí)掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的命題，就不能學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)。因此，加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，歷來是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù) 2、中學(xué)數(shù)學(xué)命題的教學(xué)的基本要求：使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)命題的意義，明確其推導(dǎo)的過程與適用范圍，并具有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)命題解決問題的能力。,§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教

49、學(xué),二、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)3、關(guān)于數(shù)學(xué)公理的教學(xué)：⑴公理：不加證明，而由實(shí)踐直接得來的，公理系統(tǒng)具有“三性”：無矛盾性、獨(dú)立性、完備性。⑵公理的教學(xué)任務(wù)：①使學(xué)生了解什么是公理，體會(huì)到公理的必要性。②理解并記憶公理的具體內(nèi)容。③在推理和計(jì)算中熟練予以應(yīng)用。⑶在教學(xué)公理時(shí)，應(yīng)注意從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們自己抽象出有關(guān)公理的內(nèi)容。同時(shí)，由于公理受客觀的檢驗(yàn)，應(yīng)引導(dǎo)他們用具體的實(shí)例加以驗(yàn)證，并且在證明數(shù)學(xué)命題或解決實(shí)際問題時(shí)，

50、逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用公理。,§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué),二、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)4、關(guān)于數(shù)學(xué)定理的教學(xué)：首先，應(yīng)明確證明的思想。數(shù)學(xué)具有邏輯嚴(yán)密性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)中的結(jié)論常以邏輯推理作保證，要求言必有據(jù)。證明思想的培養(yǎng)，掌握證明的書寫格式。其次，在具體方法上，應(yīng)注意下列幾點(diǎn)：⑴分清定理的條件和結(jié)論，掌握定理的內(nèi)容和表達(dá)形式。⑵分析證明定理的思路，掌握證明定理的方法。⑶了解定理與其他知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使知識(shí)系統(tǒng)化。⑷加強(qiáng)

51、定理的應(yīng)用，提高運(yùn)用定理解決問題的能力。,§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué),二、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)5、法則的教學(xué)⑴法則的教學(xué)任務(wù)：①使學(xué)生了解法則的由來②弄清法則的條件的由來和任務(wù)③使學(xué)生熟練運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算和推理。⑵法則的分類：定義型法則和公式型法則6、公式的教學(xué)⑴掌握公式的定義：突出換元法的基本思想⑵注意公式的逆用和變形，突出變換思想⑶把握公式的記憶,§4.6　中學(xué)數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué),思考與練習(xí)：1、

52、閱讀教材P32－362、試舉例說明如何進(jìn)行概念與命題的教學(xué)，同時(shí)在教學(xué)中應(yīng)注意什么問題？（習(xí)題P3712）,§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,一、數(shù)學(xué)思維的意義1、思維的特點(diǎn)：間接性、概括性、問題性2、數(shù)學(xué)思維：是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)和形)相互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律(對(duì)象的本質(zhì)特點(diǎn))的過程。概念、判斷、推理是數(shù)學(xué)思維的基本形式。 3、數(shù)學(xué)思維的常用方法有：觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、綜合、比較、分類、抽象、概括、具體化、特殊化、

53、系統(tǒng)化、類比、歸納、演繹、想象和直覺等。4、數(shù)學(xué)思維的類型有：⑴按其結(jié)構(gòu)分為平面思維(又稱單面思維)、立體思維(又稱多面思維)。⑵按其探求方向劃分為求同思維(又稱集中思維)、求異思維(又稱發(fā)散思維)。,§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,一、數(shù)學(xué)思維的意義4、數(shù)學(xué)思維的類型有：⑶按其性質(zhì)或?qū)哟蝿澐钟芯唧w思維(又稱形象思維)、抽象思維(又稱邏輯思維)、直覺思維(又稱創(chuàng)造性思維)、函數(shù)思維(又稱辯證思維)。⑷按其反射現(xiàn)象劃分有

54、有聲思維與有形思維。⑸按其實(shí)際需要?jiǎng)澐钟凶匀凰季S、理論思維與數(shù)學(xué)思維。⑹按其智力品質(zhì)劃分有再現(xiàn)性思維、創(chuàng)造性思維。5、數(shù)學(xué)是思維的工具，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體。中學(xué)數(shù)學(xué)教育與思維科學(xué)之間的緊密聯(lián)系是十分明顯的。,§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,二、中學(xué)數(shù)學(xué)思維的方法1、觀察與實(shí)驗(yàn)2、分析與綜合3、比較與分類4、抽象與概括5、具體化、特殊化、系統(tǒng)化6、類比、歸納、演繹7、想象和直覺,§4

55、.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,三、中學(xué)數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)1、思維的廣闊性2、思維的深刻性3、思維的批判性4、思維的靈活性5、思維的組織性6、思維的創(chuàng)造性,§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,四、中學(xué)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)1、發(fā)散思維及其基本培養(yǎng)途徑所謂發(fā)散性思維，就是指一種不落俗套，追求變異，從多角度、多方位尋找答案的思維過程。它具有流暢、變通、獨(dú)創(chuàng)等特征。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，注意發(fā)散思維的訓(xùn)練，不僅可以使學(xué)生的解題思路開闊，妙法頓生，克服思

56、維刻板與僵化，解題思路狹窄，方法單一的缺陷和題目稍有變化，就不知所措等現(xiàn)象，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生成為勇于探索新方法、新理論的創(chuàng)造性人才具有重要意義。加強(qiáng)發(fā)散性思維的訓(xùn)練，可從以下三方面入手。①加強(qiáng)變式與變形的教學(xué)。②提倡一題多解與一題多變。愛因斯坦說過“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要?！雹奂訌?qiáng)發(fā)散思維的的練習(xí)與考查。,§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,四、中學(xué)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)2、逆向思維及其基本培養(yǎng)途徑逆向思維，又稱反向

57、思維，是善于從對(duì)立的立場(chǎng)、角度、層次、側(cè)面去進(jìn)行思考，當(dāng)某一思路出現(xiàn)障礙時(shí)，能夠迅速地轉(zhuǎn)移到另一思路上去，從而使問題得到解決的思維過程。①加強(qiáng)定義、定理、公式、法則的逆用練習(xí)。②學(xué)會(huì)運(yùn)用逆向推理和反面求解。③培養(yǎng)逆向思維的意識(shí)和能力。,§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,四、中學(xué)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)3、創(chuàng)造性思維及其基本培養(yǎng)途徑創(chuàng)造性思維，是思維的一種更高級(jí)形式，在分析問題、解決問題的過程中能廣泛、深入地進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)或解決自己或

58、別人所未發(fā)現(xiàn)或未能解決問題的能力。特征是探索、突破、創(chuàng)新，它與分析思維不同，不是以每前進(jìn)一步都有充足理由，而往往是突然認(rèn)識(shí)的，是頓悟、飛躍的認(rèn)識(shí)形式，是在一剎那間內(nèi)完成的，在思維路線上被壓縮了的思維形式。①良好的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、技巧，是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)。②善于觀察、類比、歸納、想象，是創(chuàng)造性思維的重要條件。③加強(qiáng)知識(shí)的綜合運(yùn)用，是提高創(chuàng)造性思維的重要手段。,§4.7　中學(xué)數(shù)學(xué)思維,思考與練習(xí)：1、何謂思維與數(shù)學(xué)思維，它在