奧林匹克數(shù)學的技巧下篇

1、奧林匹克數(shù)學的技巧（下篇）2718優(yōu)化假設對已知條件中的多個量作有序化或最優(yōu)化（最大、最小、最長、最短）的假定，叫做優(yōu)化假設，常取“極端”、“限定”、“不妨設”的形式。由于假設本身給題目增加了一個已知條件，求解也就常能變得容易。求解都用到這一技巧。104246296IMOIMOIMO???例2166空間個點，任4點不共面，連條線段，證明其中至少有32(2)nn?21n?條邊組成一個三角形。證明設其中任意三條線段都不能組成三角形，并設從A

2、1點引出的線段最多（優(yōu)化假設），且這些線段為A1B1，A1B2，…A1Bk，除A1，B1，B2，…，Bk之外，其他點設為A2，A3，…，A2nk。顯然中任兩點間無線段相連。于是，每一個發(fā)出的??12kBBB…iB線段至多（）條，而每個發(fā)出的線段至多條（2nk?jAk12122ikjnk???……），故線段總數(shù)最多為（圖265）：221(2)[(2)(2)](2)[]22knklnknkkknkn?????????這與已知條件連條線段矛盾

3、，故存在三條線段組成一個三角形。21n?例2167平面上的有限個圓盤蓋住了面積為1的區(qū)域S，求證可以從中選出一些互不相交的原盤來，使它們的面積之和不小于。19證明將圓心為O，半徑為r的原盤記為。首先取全體圓盤中面積最大的一個()Cor記為；然后在與不相交的圓盤中取面積最大的一個，記為，接11()Cor11()Cor22()Cor著在與，都不相交的圓盤中取面積最大的一個，記為，繼續(xù)這11()Cor22()Cor33()Cor一過程，直到無

4、圓可取為止，設取得的圓盤依次為，，…，11()Cor22()Cor()nnCor（1）則（1）中的圓盤互不相交，且剩下的圓盤均與（1）中的某一圓盤相交。下面證明，（1）中各圓面積之和不小于。12nSSS???…19任取，必存在一個已知圓盤，使。這個或在（1）xS?()Cor()cCor?()Cor中，或與（1）中的圓盤相交，反正必與（1）有重迭部分，現(xiàn)設（1）中與有公共()Cor部分的最大圓盤為，因為，與，()(1)kkCorkn??(

5、)Cor()kkCor11()Cor22()Cor，…，均不相交，故由的取法知，且由11()kkCor??()kkCorkrr?。如果對于每一對元素，有一個集合使得??12tFAAA?…xyN?iAF???iAxy?恰含一個元素，則稱F是可分的。如果N的每一個元素至少屬于一個集，則稱FiAF?是覆蓋的。問使得有一個既是可分的又是覆蓋的的最小值是多??12tFAAA?…t()fn少？解設對于N是既是可分的又是覆蓋的，考慮集合與元素的關??

6、12tFAAA?…系表：元素集合123……nA111a12a13a……1naA221a22a23a……2na…………………At1ta2ta3ta……tna其中10ijjAaiA????????11itjn????①由于F是覆蓋的，所以每個屬于至少一個，即表中每一列中至少有一個1。jiA②由于F是可分的，所以表中每兩列均不完全相同。由于表中的行中，每個元素只取0或1，并且每列的元素不全為0，所以最多可以組t成個兩兩不同的列，由F是可分的（

7、或由②），有21t?212ttn???22log[log]tnn??得（1）2()[log]1fnn??另一方面，取滿足，即t1221ttn????2[log]1tn??可作出n個不同的由0，1組成的并且不全為0的長為t的數(shù)字列，因為，21tn??這總是可能的，將它們作為一個有行列的數(shù)字表的列，再把這個表看作是一些集合tnnA1，A2，…，At與元素1，2，…，n的關系表。即集合由第行中使得的哪些iAi1ija?j組成，即。??111i