第八章第7課時知能演練輕松闖關(guān)

1、 1．若 k∈R，則方程 x2k＋3＋ y2k＋2＝1 表示焦點在 x 軸上的雙曲線的充要條件是( ) A．－3－2 D．k>－2 解析：選 A.由題意可知，? ? ? ? ?k＋3>0，k＋20，b>0)漸近線上的一點，E、F 是左、右兩個焦點，若EP →· FP →＝0，則雙曲線的方程為( ) A.x23－y24＝1 B.x24－y23＝1 C.x29－y216＝1 D.x216－y

2、29＝1 解析：選 C.設(shè) E(－c,0)、F(c,0)，于是有EP →· FP →＝(3＋c，－4)· (3－c，－4)＝9－c2＋16＝0.于是 c2＝25.排除 A， B.又由 D 中雙曲線的漸近線方程為 y＝± 3 4x， 點 P 不在其上排除 D.故選C. 3．已知雙曲線x2a－y22＝1 的一個焦點坐標為(－ 3，0)，則其漸近線方程為________． 解析：由 a＋2＝3，可得 a＝1，∴雙

3、曲線方程為 x2－y22＝1， ∴其漸近線方程為 x±y2＝0，即 y＝± 2x.故填 y＝± 2x. 答案：y＝± 2x 4．設(shè) P 是雙曲線x2a2－y29＝1 上一點，雙曲線的一條漸近線方程為 3x－2y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2 分別是雙曲線的左、右焦點．若|PF1|＝3，則|PF2|等于________． 解析：由漸近線方程可得 a2＝4，a＝2，根據(jù)雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝4，即

4、|PF2|－3＝4， ∴|PF2|＝7. 答案：7 一、選擇題 1．若橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的離心率為 32 ，則雙曲線x2a2－y2b2＝1 的漸近線方程為( ) A．y＝± 1 2x B．y＝± 2x C．y＝± 4x D．y＝± 1 4x 解析：選 A.由題意 a2－b2a ＝ 32 ，所以 a2＝4b2. 故雙曲線的方程可化為 x24b2－y2b2

5、＝1， 故其漸近線方程為 y＝± 1 2x. 2．(2012· 保定質(zhì)檢)已知 M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動點 P 的軌跡是( ) ∴雙曲線的方程為x22－y2＝1. 答案：x22－y2＝1 8．設(shè) F1、F2 分別是雙曲線 x2－y29＝1 的左、右焦點，若點 P 在雙曲線上，且PF1 → · PF2 → ＝0，則|PF1 → ＋PF2 → |＝________. 解析：

6、因為 F1、 F2 分別是雙曲線 x2－y29＝1 的左、 右焦點， 所以 F1(－ 10， 0)， F2( 10， 0)． 由題意知|PF1 → ＋PF2 → |＝2|PO → |＝|F1F2|＝2 10. 答案：2 10 三、解答題 9．已知橢圓 D：x250＋y225＝1 與圓 M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線 G 與橢圓 D 有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓 M 相切，求雙曲線 G 的方程． 解：橢圓 D 的兩個焦點為

7、F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在 x 軸上，且 c ＝5. 設(shè)雙曲線 G 的方程為x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)， ∴漸近線方程為 bx± ay＝0 且 a2＋b2＝25， 又圓心 M(0,5)到兩條漸近線的距離為 r＝3. ∴ |5a|b2＋a2＝3，得 a＝3，b＝4， ∴雙曲線 G 的方程為x29－y216＝1. 10．已知雙曲線 C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>

8、;0)的離心率為 3，且a2c ＝ 33 . (1)求雙曲線 C 的方程； (2)已知直線 x－y＋m＝0 與雙曲線 C 交于不同的兩點 A，B，且線段 AB 的中點在圓 x2＋y2＝5 上，求 m 的值． 解：(1)由題意，得? ? ? a2c ＝ 33 ，c a＝ 3，解得 a＝1，c＝ 3， ∴b2＝c2－a2＝2， ∴所求雙曲線 C 的方程為 x2－y22＝1. (2)設(shè) A，B 兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2

9、)， 線段 AB 的中點為 M(x0，y0)， 由? ? ? ? ?x2－y22＝1，x＋y＋m＝0，得 x2－2mx－m2－2＝0(判別式 Δ>0)， ∴x0＝x1＋x22 ＝m， y0＝x0＋m＝2m， ∵點 M(x0，y0)在圓 x2＋y2＝5 上， ∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝± 1. 11．已知雙曲線的中心在原點，焦點 F1，F(xiàn)2 在坐標軸上，離心率為 2，且點(4，－ 10)在 雙曲線上． (1)求