二次微分方程的通解

1、第六節(jié)第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法次線性微分方程的解法教學(xué)重點：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學(xué)重點：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學(xué)過程教學(xué)過程：一、一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程?方

2、程y???py??qy?0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程?其中p、q均為常數(shù)?如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解?那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?我們看看?能否適當(dāng)選取r?使y?erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程?為此將y?erx代入方程y???py??qy?0得(r2?pr?q)erx?0?由此可見?只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0?函數(shù)y?erx就是微分方程的解?特征方程?方程r2?pr?q?0

3、叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程?特征方程的兩個根r1、r2可用公式24221qppr?????求出?特征方程的根與通解的關(guān)系?(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時?函數(shù)、是方程的兩個線性無關(guān)xrey11?xrey22?的解?這是因為?函數(shù)、是方程的解?又不是常數(shù)?xrey11?xrey22?xrrxrxreeeyy)(212121???因此方程的通解為?xrxreCeCy2121??(2)特征方程有兩個相等的實根

4、r1?r2時?函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微xrey11?xrxey12?解所給方程的特征方程為r2?2r?1?0?即(r?1)2?0?其根r1?r2??1是兩個相等的實根?因此所給微分方程的通解為y?(C1?C2x)e?x?將條件y|x?0?4代入通解?得C1?4?從而y?(4?C2x)e?x?將上式對x求導(dǎo)?得y??(C2?4?C2x)e?x?再把條件y?|x?0??2代入上式?得C2?2?于是所求特解為x?(4?2x)e?x?例3求

5、微分方程y???2y??5y?0的通解?解所給方程的特征方程為r2?2r?5?0?特征方程的根為r1?1?2i?r2?1?2i?是一對共軛復(fù)根?因此所求通解為y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?n階常系數(shù)齊次線性微分方程?方程y(n)?p1y(n?1)?p2y(n?2)?????pn?1y??pny?0?稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程?其中p1?p2?????pn?1?pn都是常數(shù)?二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的

6、通解形式?可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?引入微分算子D?及微分算子的n次多項式?L(D)=Dn?p1Dn?1?p2Dn?2?????pn?1D?pn?則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dn?p1Dn?1?p2Dn?2?????pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0?注?D叫做微分算子D0y?y?Dy?y??D2y?y???D3y?y????????Dny?y(n)?分析?令y?erx?則L(D)y?L(D)erx?(rn?