第一講凸函數(shù)與琴生不等式(帶解答)

1、周六自主招生培訓(xùn)講座1第一講：凸函數(shù)與琴生不等式一、函數(shù)的凹凸性：定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)?a，b)，如果對(duì)于(a，b)內(nèi)任意兩數(shù)x1，x2，都有()fx①1212()()()22xxfxfxf???則稱為(a，b)上的下凸函數(shù)()fx注：①若把①式的不等號(hào)反向，則稱這樣的為區(qū)間(a，b)上的上凸函數(shù)（或凹函()fx數(shù)）②下凸函數(shù)的幾何意義：過曲線上的任意兩點(diǎn)作弦，則弦的中點(diǎn)必在該曲線的()yfx?上方（或曲線上）③的二階導(dǎo)數(shù)，則為下

2、凸函數(shù)；的二階導(dǎo)數(shù)，()fx()0fx?()fx()fx()0fx?則為上凸函數(shù)。()fx常見的上凸（凹）函數(shù)，0=sin=cos=lnsin=lncos2yxyxyxyx???????，上，常見的（下）凸函數(shù)，??2310====nnyxyxyxyx?，上，二、琴生不等式性質(zhì)：若在區(qū)間為下凸函數(shù)，則對(duì)，)(xfIIxxxn?21?總有；nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121?????????當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)。12nxx

3、x????若在區(qū)間為上凸函數(shù)，則對(duì)，)(xfIIxxxn?21?總有。nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121?????????當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)。12nxxx????三、加權(quán)形式：周六自主招生培訓(xùn)講座3即：1212()()()22gxgxxxg???(3)當(dāng)時(shí)1202xx???，1212121212121212sinsinsin()2sin()tantancoscoscoscoscos()cos()xxxxxxxxxxxx

4、xxxx??????????（∵）1212122sin()2tancos()12xxxxxx??????sintan1cos2?????即：1212()()()22hxhxxxh???例2設(shè)是銳角的三個(gè)內(nèi)角，求證：ABC、、ABC?3coscoscos2ABC???例3，且abc=3，求證：abc??R，，8181819abc??????證明：設(shè)，則上的凹函數(shù)()81fxx??()(0)fx?為，由琴生：1[()()()]()(1)33

5、3abcfafbfcff???????∴()()()9fafbfc???例4設(shè)是的三個(gè)內(nèi)角，是非負(fù)常數(shù)，求ABC、、ABC??的最大值。tantantantantantan222222BCCAAB????????例5用琴生不等式證明均值不等式，即：nnAG?1212nninaaaaRaaan????????，則證：∵iaR??設(shè)，則為上的上凸函數(shù)()lgfxx?()fx(0)??，由琴生不等式：12121(lglglg)lgnnaaaa