高中數(shù)學解題基本方法——換元法

1、高中數(shù)學解題基本方法——換元法解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的

2、計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設2＝t（t0），而變xxx為熟悉的一元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。三角換元，應用

3、于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時，易發(fā)現(xiàn)x∈[01]，x1?x設x＝sinα，α∈[0]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設，2?2其中主要應該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r222（r0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時，設x＝＋t，y＝－t等等。

4、S2S2我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t0和α∈[0]。?2Ⅰ、再現(xiàn)性題組：Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.y＝sinxcosx＋sinxcosx的最大值是_________。2.設f(x＋1)＝log(4－x)（a1），則f(x)的值域是_______________。2a43.已知數(shù)列a中，a＝－1，aa＝a－a，則

5、數(shù)列通項a＝n1n?1nn?1nn___________。4.設實數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。25.方程＝3的解是_______________。1313???xx6.不等式log(2－1)log(2－2)〈2的解集是_______________。2x2x?1此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝的有界性而求，即解不810SS?等式：||≤1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的

6、“有界法”。810SS?【另解】由S＝x＋y，設x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，222S22S2S2S2則xy＝代入①式得：4S5=5，St224－St224－移項平方整理得100t39S－160S＋100＝0。22∴39S－160S＋100≤0解得：≤S≤21013103∴＋＝＋＝＝1Smax1Smin3101310161085【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S＝x＋y與三角22公式cosα＋sinα＝1的

7、聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值22域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值換元的思22路，設x＝＋t、y＝－t，減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求2S22S2值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設x＝a＋b，y＝a－b，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設x＝a＋b，