三角函數(shù)公式及推導(dǎo)ppt課件

1、三角函數(shù)公式及推導(dǎo),三角函數(shù)公式及推導(dǎo),1-----誘導(dǎo)公式（之一）：,常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα,公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝

2、tanαcot（π＋α）＝cotα,公式三：任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα,公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα,,1-----誘導(dǎo)公式（之二）：,公式五：利用公

3、式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα,公式六之一：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosα

4、cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα,公式六之二sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z),※規(guī)律總結(jié)※上面這些誘導(dǎo)公式可

5、以概括為：對(duì)于k·π/2±α(k∈z)的個(gè)三角函數(shù)值，①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇變偶不變）然后在前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。（符號(hào)看象限）,,上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。公式右邊的符號(hào)為把α視為銳角時(shí)，角k·360°+α（k

6、∈z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦”． 這十二字口訣的意思就是說(shuō)： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“＋”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“＋”，弦函數(shù)是“－”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“＋”，其余全

7、部是“－”．,口訣總結(jié),公式七：額外的定義（也是重要的呀）,,,2---同角三角函數(shù)基本關(guān)系,⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系:tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1,商的關(guān)系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα,平方關(guān)系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝

8、sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)證明：,,同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構(gòu)造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。（1）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰 的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的 三角函數(shù)值的乘積）。由此，可

9、得商數(shù)關(guān)系式。（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上 的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的 平方。,,3---兩角和差公式,兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsin

10、β                 tanα＋tanβtan（α＋β）＝——————--              1－tanα ·tanβ  &

11、#160;              tanα－tanβtan（α－β）＝——————              1＋tanα ·tanβ,,,,,（和差公式的證明）兩角差的余弦,令A(yù)O=

12、BO=r點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)A縱坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,兩式相等，化簡(jiǎn)（或?qū)φ盏茫?由余弦定理得：,,,兩角和的余弦,兩角和的正弦,,兩角差的正弦,兩角和的正切,兩角差的正切,,,,由兩角差的余弦得,,4---二倍角公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式（也稱為：升冪縮角公式）,正弦的二倍角公式：表示一：sin2α＝2sinαcosα證明：因?yàn)?sin(? +?)=sin??cos?+cos??sin?，令?=?=? ，所以，可得：s

13、in2?=2?sin??cos?,表示二：（以正切表示二倍角）sin2?= 2tan? 1+tn2 ? 證明：sin2?=2sin?cos?=2 (sin ? /cos ?) .cos2? =2tan?/(sec2 ?) = 2tan?/(1+tan2 ?),,余弦二倍角公式：表示一： co

14、s2?=cos2??sin2?=2cos2??1=1?2sin2? 證明：因?yàn)橛珊徒枪剑篶os(? +?)=cos??cos??sin??sin?，令?=?=? 所以，可得： cos2?=cos2??sin2?=2cos2??1=1?2sin2?,表示二：cos2?= 1-tan2? 1+tan2 ? 證明：cos2?=2cos2??1 = (2

15、/sec2?)?1 =2/(1+tan2 ?) ?1 =(1-tan2 ?)/(1+tan2 ?),,,2tanα tan2α＝ —————         1－tan2α證明：因?yàn)橛珊徒枪剑簍an(? +?)= (tan ? +tan

16、 ? )/(1-tanα.tan ? )， 令?=?=? ，所以，可得： 2tanα tan2α＝ —————         1－tan2α

17、,正切的二倍角公式,結(jié)論：利用tan?可以將sin2?，cos2?，tan2?表示出來(lái)，,整理如下： (a) sin2?= 2tan ?/(1+ tan2 ?) (b) cos2?=(1- tan2 ?)/ (1+tan2 ?) (c) tan2?=2tan ? / (1-tan2 ?) 用三角形直觀表示如下：（圖）,,6---半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（也稱：降冪擴(kuò)角公式）,或也可表示為：

18、             1－cosα sin^2(α/2)＝—————             

19、 2                1＋cosα cos^2(α/2)＝—————               

20、 2                1－cosα tan^2(α/2)＝—————             

21、 1＋cosα,,7---萬(wàn)能公式,萬(wàn)能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。,,8-

22、--三倍角公式,三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a)sin3?= 3sin? ?4sin3?證明：sin3? =sin(?+2?)=sin?cos2?+cos?sin2? =sin?(1?2sin2?)+cos?(2sin?cos?) = sin?(1?2sin2?)+2sin?cos2? = sin?(1?2sin2?)+2sin?(1?sin2?)

23、 = 3sin? ?4sin3?,(b)cos3?=4cos3? ?3cos?證明：cos3?=cos(?+2?)=cos?cos2??sin?sin2? =cos?(2cos2??1)?sin?(2sin? cos?) = cos?(2cos2??1)?2sin2?cos? = cos?(2cos2??1)?2(1?cos2?)cos? =4cos3? ?3cos?,三倍角的正切公

24、式因?yàn)椋簊in3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα       3tanα－tan3α所以：tan3α＝ ——————        1－3tan2α,,三倍角

25、公式推導(dǎo),正切三倍角公式推導(dǎo)：（證明）tan3α＝sin3α/cos3α＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)),正弦三倍角

26、公式推導(dǎo)（證明）sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)＝3sinα－4sin^3(α),余弦三倍角公式推導(dǎo)：（證明）cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)＝2cos^3

27、(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))＝4cos^3(α)－3cosα,三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢(qián)”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。,9---積化和差公式,積化和差公式推導(dǎo)（之一）附推導(dǎo)：首先,我們知道 sin(a

28、+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2同樣的,我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(

29、a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*s

30、inb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2,,,積化和差推導(dǎo)（證明之二）：,,,,10---和差化積公式,和差化積的公式推導(dǎo)：好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

31、把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2),,11---輔助角公式,其中 的象限由 的符

32、號(hào)確定。,,,12---任意三角形面積公式：,,13---余弦定理：,任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對(duì)邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。,證明：,（證完）,14---正弦定理,c為ΔABC外接圓的直徑,,,同理,對(duì)邊與對(duì)角正弦之比相等，且為外接圓的半徑的兩倍,15---海倫公式（任意三角形已知三邊求面積）,證明,,,證畢（公式）,a,b ,c 為三角形的三邊，∠A， ∠ B， ∠ C為三邊所對(duì)應(yīng)的三個(gè)角,16---特殊的三角函

33、數(shù)值（表）,,17：其它一些恒等變換的有用公式：也必須熟記,(a)cos2?=cos2??sin2?=2cos2??1=1?2sin2? (b) cos?=2cos2 ? 1=1?2sin2 (c) cos2?= (1+cos2 ? )/2， sin2?=（1-cos2 ? )/2,18：一些常用的高次方降次---有用的公式：,(a)sin4?+cos4?=(sin2?+