微分方程群分類研究

1、微分方程群分類研究微分方程群分類研究為了解決這個(gè)困難，通常采用兩種思想:一種就是通過(guò)引進(jìn)一些技巧(如等價(jià)性變換)，直接研究帶有任意函數(shù)的確定方程組的相容性，進(jìn)而確定出函數(shù)的具體形式和相應(yīng)方程的對(duì)稱群。另一種思想就是不去直接研究確定方程組的相容性，而是先假設(shè)所考慮的方程具有某種性質(zhì)的對(duì)稱群G(對(duì)稱代數(shù)g)，然后去尋找這種對(duì)稱群(對(duì)稱代數(shù))的表示。前一種方法由于確定方程組的復(fù)雜性，用這種思想來(lái)研究方程的群分類，特別是(在某些等價(jià)關(guān)系下)完備

2、的群分類仍然是很困難的，常常依賴于所考慮方程本身的特殊結(jié)構(gòu)。因此，通常會(huì)對(duì)方程中的任意函數(shù)作一些特殊的限制，進(jìn)而給出一些零散的分類結(jié)果，稱為方程的初步的群分類。這種思想給出了一個(gè)簡(jiǎn)化分類問(wèn)題的有效方法，本質(zhì)上等價(jià)于給解決微分方程的完備群分類問(wèn)題提供了一種可能性。論文參考。最近，烏克蘭數(shù)學(xué)家通過(guò)研究分類方程關(guān)于任意函數(shù)的特殊相容性，給出了一個(gè)有效的方法(稱之為相容性方法)來(lái)分類非線性方程。該方法已被用于不同的群分類問(wèn)題。通過(guò)進(jìn)一步考慮附加

3、的等價(jià)性變換，把該方法推廣到非線性擴(kuò)散對(duì)流方程的研究中，成功的給出了該方程在連續(xù)性等價(jià)變換群和一般等價(jià)群下的完備群分類。后一種思想源于如果方程所容許的對(duì)稱群(對(duì)稱代數(shù))的表示給定了以后，就可以直接應(yīng)用Lie的無(wú)窮小算法來(lái)解決微分方程的群分類問(wèn)題。然而，當(dāng)對(duì)稱代數(shù)的具體表示沒(méi)有給定時(shí)，分類同樣是非常的復(fù)雜。此時(shí)，利用Lie的無(wú)窮小算法的主要困難在于人們性李代數(shù)是同構(gòu)的，且在微分方程群理論分析的意義下這些方程被認(rèn)為是等價(jià)的。因此該理論實(shí)際上

4、給出了一種用來(lái)初步分類由某些特殊類的一階線性微分算子生成的低維李代數(shù)的不等價(jià)實(shí)現(xiàn)的方法。而這類特殊的微分算子是由所研究方程的結(jié)構(gòu)確定的。它們形成了所考慮方程所容許的對(duì)稱群的李代數(shù)的實(shí)現(xiàn)的一個(gè)表示空間。因此，可在所有可能的實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的集合中引進(jìn)一個(gè)自然的等價(jià)關(guān)系，即若兩個(gè)實(shí)現(xiàn)在等價(jià)群的作用下可以互相轉(zhuǎn)換，則它們被稱為是等價(jià)的。換句話說(shuō)，研究具有給定形式的偏微分方程的對(duì)稱群分類問(wèn)題等價(jià)于構(gòu)造其李變換群(或由一階微分算子張成的李代數(shù))的一個(gè)表示