第二講間接效用函數(shù)與支出函數(shù)d

1、第二講間接效用函數(shù)與支出函數(shù),,Outline of Today’s Class,1.間接效用函數(shù)2.羅伊（Roy identity）等式3.支出最小化問(wèn)題4.支出函數(shù)5.?？怂梗ㄑa(bǔ)償）需求函數(shù),,6.謝潑特（Shephard）引理7.效用最大化與支出最小化的關(guān)系8.斯盧茨基方程9.替代效應(yīng)與收入效應(yīng),一、定義,,瓦爾拉斯定律,第一節(jié)間接效用函數(shù),①它是極大化了的效用,②它的自變量不是消費(fèi)計(jì)劃，而是價(jià)格與收入,③控制消費(fèi)

2、者行為，可以間接地控制p、m來(lái)實(shí)現(xiàn),二、性質(zhì),（一）,v（tp,tm）=v（p,m）(t>0)即它是關(guān)于p,m的零次齊次函數(shù),,（二）,,,證：記,（三）,,證：記,,,,（四）羅伊（Roy identity）等式：,如果,,則,,,證明：,①先求分子,,（最大化一階條件）,,同時(shí),,即,,兩邊同時(shí)對(duì)pj偏微分,,故,,（1）,②再求分母,,對(duì)m求偏微分,,又,兩邊對(duì)m求微分,,由（1）、（2）可得,,例，設(shè),,比較政府征收0

3、.5元的所得稅與0.5元的商品稅對(duì)消費(fèi)者效用的影響。,三、應(yīng)用,解：,,的解為,,故,,,時(shí),,現(xiàn)在假設(shè)政府對(duì)商品1按0.25元/單位征收消費(fèi)稅，即,由0.25元變?yōu)?.5元從而,,政府獲得稅金總額為,,如果政府征收同等額度的所得稅即,,則,,所以,,征收所得稅比商品稅對(duì)消費(fèi)者的影響要小,第二節(jié) 支出函數(shù),,一、支出最小化問(wèn)題,,（一）,,（二）,?？怂梗ㄑa(bǔ)償）需求函數(shù),（M2）的解x與p，u有關(guān)，即是p，u 的函數(shù)，這一函數(shù)

4、稱為希克斯需求函數(shù)，記為,,（三）支出函數(shù),,二、支出函數(shù)的性質(zhì),（一）若,,則,,證：,,（二）.,,,證：,u 不變，給定p時(shí)，支出最小為ph(p,u),,價(jià)格tp下，支出最小為e(tp,u),,(三),,是關(guān)于P的凹函數(shù),即,,有,,證：設(shè),,則,,三.謝潑特（Shephard）引理,,,為?？怂购瘮?shù),,的第i個(gè)分量,,證明：,兩邊對(duì)pi求偏導(dǎo),,在最小化的過(guò)程中,,最小化的一階條件：,四、效用最大化與支出最小化的關(guān)系,,命題1

5、.設(shè),,的解，則,,x*也是(M2)的解。,命題2.,,設(shè),的解，記,,則x*也是（M1）的解,五、重要等式,（一）,,證：設(shè)x*為,,在,,時(shí)的解，,則其必為,,的解，故,,即要想獲得最大效用必定要花掉所有的收入,（二）,,證：設(shè)x*為,,時(shí),M1的解，故,,又x*必為M2的解，故x*滿足,,所以,,即花掉所有收入的效用最大,（三）,,（四）,,偏好,,,EMP,UMP,,,,,,,,,,,,六、例題,例2（P22）,七、預(yù)算份額

6、,Si=pixi/m,習(xí)題1,§1.6 斯盧茨基方程,,一.方程及其推導(dǎo):,,證明：,,兩邊對(duì)pi微分,,,,,,(1),由謝潑特引理知,,且,,即,,代入(1)式變形即可得,,二. 替代效應(yīng)與收入效應(yīng),(一)替代效應(yīng):由商品價(jià)格的變動(dòng)起的商品相對(duì)價(jià)格的變動(dòng),進(jìn)而由其導(dǎo)致商品需求量的變化. (二)收入效應(yīng)：由商品價(jià)格變動(dòng)所導(dǎo)致的實(shí)際收入水平變動(dòng),進(jìn)而導(dǎo)致商品需求量的變動(dòng)。,+,-,+,-,替代效應(yīng),收入效應(yīng),,,,

7、,x2,x1,,,,,替代效應(yīng),收入效應(yīng),,,,,,,-,-,+,-,,,,,x2,x1,,,,,,,,x’1,X1’’,x1’’’,,,替代效應(yīng),收入效應(yīng),三.關(guān)于普通需求曲線的斜率,在斯盧茨基方程中令i=j得,所以,1.正常商品。從而收入效應(yīng),2.對(duì)于低檔商品,收入效應(yīng)〉0，符號(hào)不定，大致可分為兩種情況：其一，若收入效應(yīng)的絕對(duì)值小于自替代效應(yīng)的絕對(duì)值，斜率為負(fù)，即普通需求曲線是向右下方傾斜的。其二，若收入效應(yīng)的絕對(duì)值大于自替代效

8、應(yīng)的絕對(duì)值，斜率為正，即普通需求曲線是向有上方傾斜的，屬吉芬商品。,消費(fèi)者行為理論小結(jié),1.偏好作為個(gè)人選擇的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn).2.建立偏好與效用函數(shù)的相互對(duì)應(yīng)，便于數(shù)學(xué)分析.3.個(gè)人選擇問(wèn)題理論上抽象為效用最大化問(wèn)題。,,4. 效用最大化的均衡條件：商品的邊際替代率=邊際交換率5.引入普通需求函數(shù)、?？怂剐枨蠛瘮?shù)、間接效用函數(shù)和支出函數(shù)等概念，討論它們之間關(guān)系.從某種程度上是對(duì)個(gè)人選擇問(wèn)題討論的深化。斯盧茨基方程的導(dǎo)出是這種討論深