高數章導數與微分

1、6第2章導數與微分總結章導數與微分總結一、重點：1.導數的概念；2.基本初等函數的導數；3.函數和、差、積、商的導數；4.復合函數的求導法則；5.微分的意義；6.微分與導數的關系及微分的求解。二、難點：1.導數概念；2.復合函數的求導法則；3.隱函數的導數；4.微分形式的不變性。三、必須掌握的內容：1.導數的定義；2.單側導數，導函數；3.導數的幾何意義；4.導數與連續(xù)的關系；6.基本初等函數的導數即導數基本公式；7.函數和、差、積、商

2、的導數；8.復合函數的求導法則；9.隱函數的求導法則；10.取對數求導方法；11.高階導數；12.微分的定義；13.微分與導數之間的關系；14.微分基本公式及其運算法則；15.微分形式的不變性；16.微分的求解；17.微分在近似計算的應用（了解）。第一節(jié)第一節(jié)重點：導數概念；可導的主要條件；可導與連續(xù)的關系；可導的幾何意義；難點：單側導數；可導與連續(xù)的關系。定義1：函數在點的某鄰域內有定義，當自變量在點處有改變量時，()yfx?0xx0

3、xxA得對應的函數增量。如果極限存在，則稱函數yA0000()()limlimxxfxxfxyxx?????AAAAAA在點處是可導的（否則稱函數在點處不可導）；且把該極限稱為函數()fx0x()fx0x在點處的導數。記作：，或，()fx0x0()fx?0xxy??0xxdydx?即：，0000()()()limxfxxfxfxx?????AAA若令，上式可表示為：0xxx??A0000()()()limxxfxfxfxxx?????利

4、用定義可求函數在某點的導數。例如：求在處的導數等。2()3fxx?1x?定義2：若函數在區(qū)間內的每一點處都可導，則稱函數在區(qū)間內可()fx()ab()fx()ab導。由于導數的值與點有關，對于區(qū)間內的每一個的值，都有唯一確定的導數x()abx值與之對應，這樣就確定了區(qū)間內的一個函數，稱之為函數在區(qū)間()ab()fx?()fx內的導函數，簡稱導數，記作：，或，，。()ab()fx?y?dydxdxxdf)(例如：的導數是，那么。3()fx

5、x?2()3fxx??22(2)312xfx????定義3：如果極限存在，則稱其為函數在點處的左導000()()limxfxxfxx????AAA()fx0x6例如：求過曲線上點處的切線方程。2yx?(24)解：由導數定義3.1可求出.∴24xy???24xKy????切那么所求切線方程是：即.44(2)yx???440yx???本節(jié)小結：通過本節(jié)學習，要理解和掌握導數概念；可導的充要條件及利用該條件來判別在某點導數是否存在；導數的幾何

6、意義及相關問題的求解；掌握可導與連續(xù)之間的關系，并明確連續(xù)是可導的必要條件。第二節(jié)第二節(jié)重點：①基本求導公式；②函數和、差、積、商的導數；③復合函數求導法則；④隱函數的導數；難點：①復合函數求導法則；②隱函數的導數。1、基本求導公式：（見課本）注意：①以上公式是求函數的導數最基本工具，一定要記?。虎诠街泻瘮凳腔境醯群瘮?。2、四則運算：函數和、差、積、商的導數（見課本）可以通過以下例題來進一步掌握和鞏固以上法則。1、設，求；2、設，求

7、；34cossin2yxx????y?(sincos)xyexx??y?3、設，求；4、設，求。解略。4343xyx??y?2211xyx???y?3、復合函數求導法則：設函數在點可導，函數在對應點可導，()ux??x()yfu?u則復合函數在點可導，且。[()]yffx?x()()dyfuxdx????重復利用上述方法，可以把定理推廣到函數有限次復合的情形?？梢酝ㄟ^做下面題目來進一步掌握和鞏固以上法則。1.設，求；2.設，求；6(31

8、)yx??y?8()21xyx??y?3.設，求；4.設，求。解略。23xye??y?22ln()yxxa???y?注意：①以上例題講解可先做一至兩道寫出復合過程然后再進行求導數，然后過渡到把復合過程記在心里，進行求導數；②要得到強調寫出復合過程求導數與不寫出復合過程求導數的書寫格式上的區(qū)別。如：：1、若設，，則；sin2yx?sinyu?2ux?(sin)(2)yux?????2、若把復合過程記在心里，則。(sin2)cos2(2)y