專題2.3-以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題(原卷版)

1、第三關(guān)第三關(guān)以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題【總體點(diǎn)評】【總體點(diǎn)評】二次函數(shù)在全國中考數(shù)中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)競賽中也有二次函數(shù)大題，很多生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大中很多數(shù)知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關(guān)，生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)的習(xí)。直角三角形的有關(guān)知識和二次函數(shù)都是初中代數(shù)中的重點(diǎn)內(nèi)容，這兩塊內(nèi)容的綜合是初中數(shù)最突出

2、的綜合內(nèi)容，因此這類問題就成為中考命題中比較受關(guān)注的熱點(diǎn)問題.【解題思路【解題思路】近幾年的中考中二次函數(shù)圖形中存在性問題始終是熱點(diǎn)和難點(diǎn)?？碱}內(nèi)容涉及到分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)思想對生思維能力、模型思想等數(shù)素養(yǎng)要求很高所以生的失分現(xiàn)象比較普遍和突出。解這類問題有什么規(guī)律可循所應(yīng)用的知識點(diǎn)：1.拋物線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)2.拋物線與直線的解析式3.勾股定理4.三角形的相似的性質(zhì)和判定5.兩直線垂直的條件運(yùn)用的數(shù)思想：1.函數(shù)與方程2.數(shù)形

3、結(jié)合3.分類討論4.等價轉(zhuǎn)化；解決二次函數(shù)中直角三角形存在性問題采用方法：1.找點(diǎn)：在已知兩定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時，要么以兩定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，要么以動點(diǎn)為直角頂點(diǎn).以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，構(gòu)造兩條直線與已知直線垂直以動點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，以已知線段為直徑構(gòu)造圓找點(diǎn)；2.以兩定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，兩直線互相垂直，則k1k2=1，以已知線段為斜邊時，利用K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解.【典型例

4、題】【典型例題】【例【例1】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的對稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為B.（1）若直線y＝mx＋n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1），；（2）M（

5、－1，2）；（3）滿足條件的點(diǎn)P共有四個分別322????xxy3??xy②若C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2解之，得t＝4③若P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18解之，得t1＝，t2＝2173?2173?綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有四個分別為（－1，－2）（－1，4）（－1，）1P2P3P2173?4P（－1，）2173?考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.【名師點(diǎn)睛】

6、【名師點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查的知識點(diǎn)有平面直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的特征、直角三角形的知識，題目綜合性較強(qiáng)，有一定的難度；解題時要注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程思想，會綜合運(yùn)用所的知識靈活的解題.【例【例2】如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”（1）證明：AB?CD=PB?PD（2）如圖乙，也是一個“三垂圖”，上述結(jié)論成立嗎？請說明理由（3）已