18_6354375_54.過(guò)二次曲線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)的圓系方程

1、[中國(guó)高考數(shù)學(xué)母中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題一千一千題](第0001號(hào))愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題(楊培明:13965261699)過(guò)二次曲二次曲線(xiàn)與直與直線(xiàn)交點(diǎn)的交點(diǎn)的圓系方程系方程利用利用圓系方程妙解四點(diǎn)共系方程妙解四點(diǎn)共圓問(wèn)題圓問(wèn)題二次曲線(xiàn)G上的四點(diǎn)共圓問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題利用曲線(xiàn)系思想可妙解四點(diǎn)共圓問(wèn)題為此構(gòu)造圓系方程如下.[母題結(jié)題結(jié)構(gòu)]:設(shè)二次曲線(xiàn)G:ax2cy2dxeyf=0與直線(xiàn)mxnyp=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則過(guò)這兩點(diǎn)的圓系方

2、程為:(ax2cy2dxeyf)λ(mxnyp)(mxnyt)=0這里λ=t為任意實(shí)數(shù).22nmac??[母題解析解析]:一般情況下圓與二次曲線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn)不妨設(shè)過(guò)另外兩個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程為:mxqyt=0則過(guò)這四個(gè)交點(diǎn)的曲線(xiàn)系:(ax2cy2dxeyf)λ(mxnyp)(mxqyt)=0即(aλm2)x2λ(mqnm)xy(cλnq)y2(dmt)x(ent)y(fλpt)=0該曲線(xiàn)系為圓系λ(mqnm)=0且aλm2=cλnqq=n且λ

3、=圓系方程為:(ax2cy2dxeyf)??22nmac???λ(mxnyp)(mxnyt)=0這里λ=t為任意實(shí)數(shù).22nmac??由此還可得到二次曲線(xiàn)G上A、B、C、D四點(diǎn)共圓四邊形ACD的兩條對(duì)角線(xiàn)和?兩組對(duì)邊的傾斜角分別互補(bǔ)特別的考慮四點(diǎn)共圓的極限情形(如圖)有:設(shè)點(diǎn)A是圓錐曲線(xiàn)G上的定點(diǎn)但不是頂點(diǎn)B、C是G上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)直線(xiàn)AB、AC的斜率互為相反數(shù)則直線(xiàn)BC的斜率為曲線(xiàn)G過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)斜率的相反數(shù)(定值)1.證明四點(diǎn)共明四點(diǎn)共圓

4、子題類(lèi)題類(lèi)型Ⅰ型Ⅰ:(2011年全國(guó)高考試題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)F為橢圓C:x2=1在y軸正22y半軸上的焦點(diǎn)過(guò)F且斜率為的直線(xiàn)l與C交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)P滿(mǎn)足=0.2OAOBOP(Ⅰ)證明:點(diǎn)P在C上(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q證明:A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.[解析解析]:(Ⅰ)設(shè)A(x1y1)B(x2y2)由F(01)直線(xiàn)l:y=x1與x2=1聯(lián)立得:4x22x1=0x1x2=?222y2?22?y1y2=(x1x2)2=1又由=

5、0P(1)在C上2OPOBOA???22(Ⅱ)由kPQ=kOP=直線(xiàn)OQ:y=xA、P、B、Q四點(diǎn)均在曲線(xiàn)G:2x2y22λ(xy1)(xy)=0上由2x2y22?2?222λ(xy1)(xy)=(22λ)x2(1λ)y2λxλy2令22λ=1λλ=曲線(xiàn)G:4x24y2xy6=0222?31?2為圓A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.?[點(diǎn)評(píng)]:對(duì)于給定的圓錐曲線(xiàn)G巧妙選取兩條斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)即可構(gòu)造這兩條直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)G的四個(gè)交點(diǎn)共圓問(wèn)

6、題:證明四點(diǎn)共圓或判斷四點(diǎn)是否共圓？對(duì)于該類(lèi)問(wèn)題:圓錐曲線(xiàn)G:ax2cy2dxeyf=0直線(xiàn)l1:y=kxm直線(xiàn)l2:y=kxn則直線(xiàn)l1、l2與圓錐曲線(xiàn)G的四個(gè)交點(diǎn)均在曲線(xiàn)Γ:ax2cy2dxeyfλ(kxym)(kxyn)=0上當(dāng)λ=時(shí)曲線(xiàn)Γ為12??kac圓由此即可證明判斷四點(diǎn)四點(diǎn)共圓.2.四點(diǎn)共四點(diǎn)共圓條件條件4.(2014年全國(guó)(大綱)高考試題)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F直線(xiàn)y=4與y軸的交點(diǎn)為P與C的交點(diǎn)為

7、Q且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程45(Ⅱ)過(guò)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)若AB的垂直平分線(xiàn)與C相較于M、N兩點(diǎn)且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上l?求l的方程.5.(2004年北京高考理科試題)如圖過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p0)上一定點(diǎn)P(x0y0)(y00)作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于A(x1y1)B(x2y2).(Ⅰ)求該拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離2p(Ⅱ)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)求的值并證明直線(xiàn)AB的斜率是非

8、零常數(shù).021yyy?6.(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)作斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C:=1交于AB兩31362x42y點(diǎn)(如圖所示)且P(3)在直線(xiàn)l的左上方.22(Ⅰ)證明:△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線(xiàn)上(Ⅱ)若∠APB=600求△PAB的面積.5.子題詳題詳解:1.解:(Ⅰ)設(shè)A(x0y0)則B(2x04y0)由2x02y02=22(2x0)2(4y0)2=2x0y01=0點(diǎn)A在直線(xiàn)xy1=0上同理可??得:點(diǎn)B也在直線(xiàn)xy1

9、=0上直線(xiàn)AB:xy1=0?(Ⅱ)由CD⊥AB直線(xiàn)CD:y2=(x1)即xy3=0A、B、C、D四點(diǎn)均在曲線(xiàn)G:(2x2y22)λ(xy1)(xy3)=0即??(2λ)x2(1λ)y22λx4λy3λ2=0上當(dāng)λ=時(shí)曲線(xiàn)G為圓:(x3)2(y6)2=40A、B、C、D四點(diǎn)共圓.23?2.解:(Ⅰ)由點(diǎn)N(13)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)點(diǎn)N(13)在橢圓內(nèi)λ332=12.所以λ的取值范圍是(12∞)設(shè)??A(x0y0)則B(2x06y0)由3x0

10、2y02=λ3(2x0)2(6y0)2=λx0y04=0點(diǎn)A在直線(xiàn)xy4=0上同理可得:點(diǎn)B也??在直線(xiàn)xy4=0上直線(xiàn)AB:xy4=0?(Ⅱ)由CD⊥AB直線(xiàn)CD:y3=x1即xy2=0A、B、C、D四點(diǎn)均在曲線(xiàn)G:(3x2y2λ)t(xy4)(xy2)=0即??(3t)x2(1t)y22tx6ty8tλ=0上當(dāng)λ=1時(shí)曲線(xiàn)G為圓:x2y2x3y4=0A、B、C、D四點(diǎn)共圓.2??3.解:(Ⅰ)設(shè)A(x0y0)則B(2x04y0)由2

11、x02y02=λ2(2x0)2(4y0)2=λx0y01=0點(diǎn)A在直線(xiàn)xy1=0上同理??可得:點(diǎn)B也在直線(xiàn)xy1=0上直線(xiàn)AB:xy1=0直線(xiàn)CD:xy3=0將xy1=0代入x2=λ得:x22x(2λ1)=0??2y244(2λ1)0λ1同理將xy3=0代入x2=λ得:λ9又λ≠0λ的取值范圍是(10)∪(0∞)??2y2?(Ⅱ)由A、B、C、D四點(diǎn)均在曲線(xiàn)G:(2x2y2λ)t(xy1)(xy3)=0即(2t)x2(1t)y22tx

12、4ty3tλ=0上當(dāng)t=時(shí)曲線(xiàn)G為圓:(x3)2(y6)2=4(λ9)A、B、C、D四點(diǎn)共圓.23?4.解:(Ⅰ)設(shè)Q(x04)代入y2=2px得x0=|PQ|=|QF|=由|QF|=|PQ|=p=2p8?p8p82p45?p82p45?p8??C:y2=4x(Ⅱ)由F(10)設(shè)直線(xiàn)AB:kxyk=0直線(xiàn)MN:xkyt=0則過(guò)A、M、B、N四點(diǎn)的曲線(xiàn)系:y24xλ(kxyk)(xkyt)=0即λkx2λ(k21)xy(1λk)y2(λk