15_6424895_71.高考中悄然興起的雙切線(xiàn)問(wèn)題

1、[中國(guó)高考數(shù)學(xué)母中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題一千一千題](第0001號(hào))愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題(楊培明:13965261699)高考中悄然高考中悄然興起的雙切起的雙切線(xiàn)問(wèn)題線(xiàn)問(wèn)題解決雙切解決雙切線(xiàn)問(wèn)題線(xiàn)問(wèn)題的通法的通法我們把過(guò)一點(diǎn)作圓錐曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)叫做圓錐曲線(xiàn)的雙切線(xiàn)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的雙切線(xiàn)問(wèn)題近年來(lái)在高考中悄然興起由于該類(lèi)試題涉及雙切線(xiàn)、雙切點(diǎn)、雙斜率等多種參量而成為難點(diǎn)問(wèn)題.[母題結(jié)題結(jié)構(gòu)]:己知圓錐曲線(xiàn)C1、C2過(guò)曲線(xiàn)C1上一點(diǎn)P作曲

2、線(xiàn)C2的兩條切線(xiàn)交曲線(xiàn)C1于AB兩點(diǎn)記切線(xiàn)PAPB的斜率分別為k1k2(k1≠k2)求k1k2和k1k2.[解題程序程序]:①根據(jù)點(diǎn)P在曲線(xiàn)C1上設(shè)點(diǎn)P(x0y0)和過(guò)點(diǎn)P且與曲線(xiàn)C2相切的切線(xiàn)l:yy0=k(xx0)②由直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C2相切的條件(當(dāng)曲線(xiàn)C2為圓時(shí)根據(jù)圓心到直線(xiàn)l的距離等于圓的半經(jīng)當(dāng)曲線(xiàn)C2為非圓二次曲線(xiàn)時(shí)把直線(xiàn)l的方程代入曲線(xiàn)C1的方程得關(guān)于x或y的一元二次方程根據(jù)該一元二次方程根的判別式Δ=0)得關(guān)于斜率k的一元二

3、次方程(稱(chēng)為斜率方程)③由k1k2是斜率方程的兩根根據(jù)韋達(dá)定理求k1k2和k1k2.1.圓的雙切的雙切線(xiàn)子題類(lèi)題類(lèi)型Ⅰ型Ⅰ:(2011年浙江高考理科試題)已知拋物線(xiàn)C1:x2=y圓C2:x2(y4)2=1的圓心為點(diǎn)M.(Ⅰ)求點(diǎn)M到拋物線(xiàn)C1的準(zhǔn)線(xiàn)的距離(Ⅱ)已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn))過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線(xiàn)交拋物線(xiàn)C1于AB兩點(diǎn)若過(guò)MP兩點(diǎn)的直線(xiàn)l垂直于AB求直線(xiàn)l的方程.[解析解析]:(Ⅰ)由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn):y=點(diǎn)M(04

4、)到拋物線(xiàn)C1的準(zhǔn)線(xiàn)的距離d=4=41?41417(Ⅱ)設(shè)P(x0x02)A(x1x12)B(x2x22)(x0≠01x1≠x2)過(guò)點(diǎn)P的圓C2的切線(xiàn):yx02=k(xx0)則=1(x02?1|4|2020???kkxx?1)k22(x024)x0k(x024)21=0設(shè)PAPB的斜率分別為k1k2(k1≠k2)則k1k2是方程的兩根k1k2=k1k2=?1)4(220020??xxx11)4(20220???xx由yx02=k(xx0

5、)與x2=y聯(lián)立得:x2kxkx0x02=0由于x0是此方程的根x1=k1x0x2=k2x0kAB=x1x2=(k1k2)2x0=??2x0=kMP=由MP⊥ABkABkMP=1=1x0=直線(xiàn)l:y=1)4(220020??xxx16200?xx0204xx????16200?xx?0204xx???523??1151153x4.[點(diǎn)評(píng)]:解決雙切線(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵是求兩切線(xiàn)斜率的和與積設(shè)出“統(tǒng)一”的切線(xiàn)方程不僅有利于通過(guò)建立斜率方程求斜率的

6、和與積而且可以避免對(duì)兩切線(xiàn)分別運(yùn)算減少計(jì)算量?jī)?yōu)化解題過(guò)程.2.曲線(xiàn)內(nèi)接三角形的內(nèi)切內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓子題類(lèi)題類(lèi)型Ⅱ型Ⅱ:(2009年江西高考試題)如圖已知圓G:(x2)2y2=r2是橢圓y2=1的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓其中A為162x橢圓的左頂點(diǎn).(Ⅰ)求圓G的半徑r(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M(01)作圓G的兩條切線(xiàn)交橢圓于EF兩點(diǎn)證明:直線(xiàn)EF與圓G相切.(Ⅱ)設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)過(guò)P作兩條斜率之積為的直線(xiàn)l1、l2當(dāng)直線(xiàn)l1、l2都與21圓C相切時(shí)求

7、點(diǎn)P的坐標(biāo).2.(2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖P是拋物線(xiàn)y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)BC在y軸上圓(x1)2y2=1內(nèi)切于△PBC求△PBC面積的最小值.3.(2012年湖南高考理科試題)在直角坐標(biāo)系xOy中曲線(xiàn)C1的點(diǎn)均在圓C2:(x5)2y2=9外且對(duì)C1上任意一點(diǎn)MM到直線(xiàn)x=2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.(Ⅰ)求曲線(xiàn)C1的方程(Ⅱ)設(shè)P(x0y0)(y0≠3)為圓C2外一點(diǎn)過(guò)P作圓C2的兩條切線(xiàn)分別與曲線(xiàn)C1相交于

8、點(diǎn)AB和CD.證明:當(dāng)P在直線(xiàn)x=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)四點(diǎn)ABCD的縱坐標(biāo)之積為定值.4.(2011年浙江高考文科試題)如圖設(shè)P是拋物線(xiàn)C1:x2=y上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P做圓C2:x2(y3)2=1的兩條切線(xiàn)交直線(xiàn)l:y=3于AB兩點(diǎn).(Ⅰ)求C2的圓心M到拋物線(xiàn)C1準(zhǔn)線(xiàn)的距離(Ⅱ)是否存在點(diǎn)P使線(xiàn)段AB被拋物線(xiàn)C1在點(diǎn)P處的切線(xiàn)平分？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.5.(2013年遼寧高考試題)如圖拋物線(xiàn)C1:x2=4yC2:x2=2py點(diǎn)

9、M(x0y0)在拋物線(xiàn)C2上過(guò)M作C1的切線(xiàn)切點(diǎn)為AB(M為原點(diǎn)O時(shí)AB重合于O).當(dāng)x0=1時(shí)切線(xiàn)MA的斜率為.221(Ⅰ)求p的值(Ⅱ)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)求線(xiàn)段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(AB重合于O時(shí)中點(diǎn)為O).6.(2010年廣東高考試題)一條雙曲線(xiàn)y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1A2點(diǎn)P(x1y1)Q(x2y1)是雙曲線(xiàn)上不同的兩個(gè)22x動(dòng)點(diǎn).(Ⅰ)求直線(xiàn)A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)H(0h)(h1)的兩條直線(xiàn)l1和l

10、2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)且l1⊥l2.求h的值.5.子題詳題詳解:1.解:(Ⅰ)由c=2e==a=4b2=12橢圓E:=1ac21??162x122y(Ⅱ)設(shè)P(x0y0)過(guò)P與圓C相切的直線(xiàn)l:yy0=k(xx0)則=1且=[(2x0)22]k22(21620x1220y1|)2(|200???kykx2?x0)y0k(y022)=0k1k2==2y02=(x02)225x028x036=0x0=2點(diǎn)P(23)().?2)2(2202

11、0???xy21???518??518?5572.解:(Ⅰ)設(shè)P(2t22t)PBPC的斜率分別為k1k2過(guò)P與圓相切的直線(xiàn)l:y2t=k(x2t2)則=14t2(t21|2)12(|22???ktkt?1)k24t(2t21)k4t21=0k1k2=k1k2=在y2t=k(x2t2)中令x=0得y=2t2t2kB(02t2t2k1)?)1(1222??ttt)1(414222??ttt?C(02t2t2k2)|BC|=2t2|k1k2

12、|=2t2△PBC的面積S=|BC|2t2=(t1)=2[(t21)2]≥8當(dāng)??|1|12?t?21?|1|224?tt112?t且僅當(dāng)t=時(shí)等號(hào)成立△PBC面積的最小值=8.?2?3.解:(Ⅰ)設(shè)M(xy)由|x2|=3(易知圓C2上的點(diǎn)位于直線(xiàn)x=2的右側(cè)x20)=x522)5(yx????22)5(yx???曲線(xiàn)C1:y2=20x(Ⅱ)設(shè)A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)D(x4y4)PAPC的斜率分別為k1k2過(guò)P(4