量子力學+周世勛(全套課件)

1、量子力學,目 錄,第一章 量子力學的誕生 第二章 波函數和 Schrodinger 方程 第三章 一維定態(tài)問題 第四章 量子力學中的力學量 第五章 態(tài)和力學量表象 第六章 近似方法 第七章 量子躍遷 第八章 自旋與全同粒子 附錄 科學家傳略,,,,,,,第一章 量子力學的誕生,§1 經典物理學的困難 §2 量子論的誕生 §3 實物粒子的波粒二象性,,,,,,,

2、7;1 經典物理學的困難,(一）經典物理學的成功 19世紀末，物理學理論在當時看來已經發(fā)展到相當完善的階段。主要表現在以下兩個方面： (1)應用牛頓方程成功的討論了從天體到地上各種尺度的力學客體體的運動，將其用于分子運動上，氣體分子運動論，取得有益的結果。1897年湯姆森發(fā)現了電子，這個發(fā)現表明電子的行為類似于一個牛頓粒子。 (2)光的波動性在1803年由楊的衍射實驗有力揭示出來，麥克斯韋在1864年發(fā)現的光和電磁現象之間的

3、聯系把光的波動性置于更加堅實的基礎之上。,,,,,,,（二）經典物理學的困難,但是這些信念，在進入20世紀以后，受到了沖擊。經典理論在解釋一些新的試驗結果上遇到了嚴重的困難。 （1）黑體輻射問題 （2）光電效應 （3）氫原子光譜,,,,,,黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。,黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。,實驗發(fā)現：,輻射熱平衡狀態(tài): 處于某

4、一溫度 T 下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時，輻射達到熱平衡狀態(tài)。,熱平衡時，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度 T 有關而與黑體的形狀和材料無關。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Wien 公式在短波部分與實驗還相符合，長波部分則明顯不一致。,,1. Wien 公式,從熱力學出發(fā)加上一些特殊的假設，得到一個分布公式：,,,,,1. Wien 公式,Wien 公式

5、在短波部分與實驗還相符合，長波部分則明顯不一致。,,,,,,,（2）光電效應,光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現象。這種電子稱之為光電子。試驗發(fā)現光電效應有兩個突出的特點：,1.臨界頻率v0 只有當光的頻率大于某一定值v0 時，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強度多大，照射時間多長，都沒有電子產生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。,2.電子的能量只是與光的頻率有關，與光強無關，光強只決定電子數目的多少。光電效應

6、的這些規(guī)律是經典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度而與頻率無關。,,,,,,,（3）原子光譜，原子結構,氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現紫外光附近的一個線系，并得出氫原子譜線的經驗公式是：,這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現了一系列線系，它們都可以用下面公式表示：,,,,,,,人們自然會提出如下三個問題：,1.原子線狀光譜產生的機制是什么？ 2.光譜

7、線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？,3.光譜線公式中能用整數作參數來表示這一事實啟發(fā)我們思考： 怎樣的發(fā)光機制才能認為原子的狀態(tài)可以用包含整數值的量來描寫。,,,,,,,從前，希臘人有一種思想認為： 自然之美要由整數來表示。例如： 奏出動聽音樂的弦的長度應具有波長的整數倍。,這些問題，經典物理學不能給于解釋。首先，經典物理學不能建立一個穩(wěn)定的原子模型。根據經典電動力學，電子環(huán)繞原子核運動是

8、加速運動，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運動的電子，終究會因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現實世界表明，原子穩(wěn)定的存在著。除此之外，還有一些其它實驗現象在經典理論看來是難以解釋的，這里不再累述。 總之，新的實驗現象的發(fā)現，暴露了經典理論的局限性，迫使人們去尋找新的物理概念，建立新的理論，于是量子力學就在這場物理學的危機中誕生。,,,,,,,§2 量子論的誕生,（

9、一）Planck 黑體輻射定律 （二）光量子的概念和光電效應理論 （四）波爾（Bohr）的量子論,（三）Compton 散射 ——光的粒子性的進一步證實,,,,,,,§2 量子論的誕生,（一）Planck 黑體輻射定律 （二）光量子的概念和光電效應理論 （四）波爾（Bohr）的量子論,（三）Compton 散射 ——光的粒子性的進一步證實,,,,,,,（一）Planck 黑體輻射定律,究竟是什么

10、機制使空腔的原子產生出所觀察到的黑體輻射能量分布，對此問題的研究導致了量子物理學的誕生。,1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔內的黑體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分布與腔壁原子的能量分布就應有一種對應。作為輻射原子的模型，Planck 假定：,,該式稱為 Planck 輻射定律,（1）原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率 v 振蕩；,（2）黑體只能以 E = hv 為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻

11、射能量， 而不是象經典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量。,,,,,,,對 Planck 輻射定律的三點討論：,（1）當 v 很大（短波）時，因為 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)，于是Planck 定律 化為 Wien 公式。,,（2）當 v 很小（長波）時，因為 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 則 Planc

12、k 定律變?yōu)?Rayleigh-Jeans 公式。,,,,,,,,對 Planck 輻射定律的三點討論：,（1）當 v 很大（短波）時，因為 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)，于是Planck 定律 化為 Wien 公式。,,（2）當 v 很?。ㄩL波）時，因為 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 則 Planck 定律變?yōu)?

13、 Rayleigh-Jeans 公式。,,,,,,,,（二）光量子的概念和光電效應理論,（1）光子概念 （2）光電效應理論 （3）光子的動量,,,,,,,(1) 光子概念,第一個肯定光具有微粒性的是 Einstein，他認為，光不僅是電磁波，而且還是一個粒子。 根據他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量 hν的微粒形式出現，而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。 由相對論光的動量和能量關系

14、 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子動量 p 與輻射波長λ（=C/v）的關系。,,,,,,,（2）光電效應理論,用光子的概念，Einstein 成功地解釋了光電效應的規(guī)律。,當光照射到金屬表面時，能量為 hν的光子被電子所吸收，電子把這份能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分用來提供電子離開金屬表面時的動能。其能量關系可寫為：,從上式不難解釋光電效應的兩個典型特點：,,,,,,

15、,光電效應的兩個典型特點的解釋,1. 臨界頻率v0,2. 光電子動能只決定于光子的頻率,由上式明顯看出，能打出電子的光子的最小能量是光電子 V = 0 時由該式所決定，即 hv -A = 0， v0 = A / h ， 可見，當 v < v0 時，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產生。,上式亦表明光電子的能量只與光的頻率 v 有關，光的強度只決定光子的數目，從而決定光電子的數目。這樣一來，經典

16、理論不能解釋的光電效應得到了正確的說明。,,,,,,,（2）光電效應,光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現象。這種電子稱之為光電子。試驗發(fā)現光電效應有兩個突出的特點：,1.臨界頻率v0 只有當光的頻率大于某一定值v0 時，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強度多大，照射時間多長，都沒有電子產生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。,2.電子的能量只是與光的頻率有關，與光強無關，光強只決定電子數目的多少。光電效應的這些規(guī)

17、律是經典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度而與頻率無關。,,,,,,,（3）光子的動量,光子不僅具有確定的能量 E = hv，而且具有動量。根據相對論知，速度為 V 運動的粒子的能量由右式給出：,對于光子，速度 V = C，欲使上式有意義，必須令 ?0 = 0,即光子靜質量為零。,根據相對論能動量關系：,總結光子能量、動量關系式如下：,把光子的波動性和粒子性聯系了起來,,,,,,,雖然愛因斯坦對光電效應的解

18、釋是對Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設，這一點流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學院院士的推薦信中。,“ 總而言之，我們可以說，在近代物理學結出碩果的那些重大問題中，很難找到一個問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻的，在他的各種推測中，他有時可能也曾經沒有射中標的，例如，他的光量子假設就是如此，但是這確實并不能成為過分責怪他的理由，因為即使在最精密的科學中，也不可能不偶爾冒點風險去引進一個基本上全

19、新的概念 ”,,,,,,,（三）Compton 散射 -光的粒子性的進一步證實。,（1）Compton 效應,經典電動力學不能解釋這種新波長的出現，經典力學認為電磁波被散射后，波長不應該發(fā)生改變。但是如果把 X--射線被電子散射的過程看成是光子與電子的碰撞過程，則該效應很容易得到理解,1 散射光中，除了原來X光的波長λ外，增加了一個新的波長為λ'的X光，且λ' >λ；,2 波長

20、增量 Δλ=λ’ –λ 隨散射角增大而增大。這一現象稱為 Compton 效應。,X--射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現的效應。該效應有如下 2 個特點：,,,,,,,（2）定性解釋,根據光量子理論，具有能量 E = h ν 的光子與電子碰撞后，光子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變?yōu)?E’= hν’ 顯然有 E’ < E, 從而有ν’ <ν,散射后的光子的頻率減小，波長變長。根據這一思路，

21、可以證明：,式中也包含了 Planck 常數 h，經典物理學無法解釋它，Compton 散射實驗是對光量子概念的一個直接的強有力的支持。,該式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和吳有訓用實驗證實，用量子概念完全解釋了Compton 效應。因為式右是一個恒大于或等于零的數，所以散射波的波長λ'總是比入射波波長長（λ' >λ）且隨散射角θ增大而增大。,,,,,,,（3）證 明,根據能量和動量守恒定律

22、：,得：,兩邊平方：,兩邊平方,（2）式—（1）式得：,,,,所以,,最后得：,,,,,,,（四）波爾（Bohr）的量子論,Planck--Einstein 光量子概念必然會促進物理學其他重大疑難問題的解決。1913年 Bohr 把這種概念運用到原子結構問題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學所代替，但是它在歷史上對量子理論的發(fā)展曾起過重大的推動作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學中保留了下來 （1

23、）波爾假定 （2）氫原子線光譜的解釋 （3）量子化條件的推廣 （4）波爾量子論的局限性,,,,,,,（1）波爾假定,Bohr 在他的量子論中提出了兩個極為重要的概念，可以認為是對大量實驗事實的概括。,1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。,2.量子躍遷的概念.,原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,......, En 的狀態(tài)。為了具體確定這些能量數值，Bohr提出了量子化條件：,原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種

24、原因，電子可以從一個能級 En 躍遷到另一個較低（高）的能級 Em ，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：,而處于基態(tài)（能量最低態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在著,,,,,,,（2）氫原子線光譜的解釋,根據這兩個概念，可以圓滿地解釋氫原子的線光譜。,假設氫原子中的電子繞核作圓周運動,由量子化條件,,,,,,,,,電子的能量,與氫原子線光譜的經驗公式比較,,,根據 Bohr 量子躍遷的概念,,,,,,,,（3）量子化條件的推廣

25、,由理論力學知，若將角動量 L 選為廣義動量，則θ為廣義坐標。考慮積分并利用 Bohr 提出的量子化條件，有,索末菲將 Bohr 量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，,這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個電子（Li，Na，K 等）的一些原子光譜也能很好的解釋。,,,,,,,（4）波爾量子論的局限性,1. 不能證明較復雜的原子甚至比氫稍微復雜的氦原子的光譜； 2. 不能給出光譜的譜線強度（相對強

26、度）； 3. Bohr 只能處理周期運動，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題； 4. 從理論上講，能量量子化概念與經典力學不相容。多少帶有人為的性質，其物理本質還不清楚。,波爾量子論首次打開了認識原子結構的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認識,,,,,,,§3 實物粒子的波粒二象性,（一）L．De Broglie 關系 （二）de Broglie 波 （三）駐波條件 （四）de Bro

27、glie 波的實驗驗證,,,,,,,（一）L．De Broglie 關系,假定：與一定能量 E 和動量 p 的實物粒子相聯系的波（他稱之為“物質波”）的頻率和波長分別為：,E = hν ? ν= E/h P = h/λ ? λ= h/p 該關系稱為de. Broglie關系。,根據Planck-Einstein 光量子論，光具有波動粒子二重性， 以及Bohr量子論，啟發(fā)了de. Bro

28、glie，他 （1）仔細分析了光的微粒說與波動說的發(fā)展史； （2）注意到了幾何光學與經典力學的相似性，提出了實物粒子（靜質量 m 不等于 0 的粒子）也具有波動性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性，二方面必有類似的關系相聯系。,,,,,,,（一）L．De Broglie 關系,假定：與一定能量 E 和動量 p 的實物粒子相聯系的波（他稱之為“物質波”）的頻率和波長分別為：,E = hν ? ν= E

29、/h P = h/λ ? λ= h/p 該關系稱為de. Broglie關系。,根據Planck-Einstein 光量子論，光具有波動粒子二重性， 以及Bohr量子論，啟發(fā)了de. Broglie，他 （1）仔細分析了光的微粒說與波動說的發(fā)展史； （2）注意到了幾何光學與經典力學的相似性，提出了實物粒子（靜質量 m 不等于 0 的粒子）也具有波動性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性，二方面

30、必有類似的關系相聯系。,,,,,,,（二）de Broglie 波,因為自由粒子的能量 E 和動量 p 都是常量，所以由de Broglie 關系可知，與自由粒子聯系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量 n 方向傳播的平面波可表為：,寫成復數形式,這種波就是與自由粒子相聯系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復數形式的波稱為 de Broglie 波,d

31、e Broglie 關系： ν= E/h ? ? = 2? ν= 2?E/h = E/? λ= h/p ? k = 1/ ? = 2? /λ = p/?,,,,,,,（三）駐波條件,為了克服 Bohr 理論帶有人為性質的缺陷， de Broglie 把原子定態(tài)與駐波聯系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯系起來。,例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運動的電子相應的駐波示意圖,,要求圓周長是波長的整數倍

32、,于是角動量：,de Broglie 關系,,,,,,,,de Broglie 波在1924年提出后，在1927-1928年由 Davisson 和Germer 以及 G.P.Thomson 的電子衍射實驗所證實。,,,,,,,作 業(yè) 周世勛《量子力學教程》： 1.2 、 1.4 曾謹言《量子力學導論》： 1.1、1.3,第二章 波函數和 Schrodinger 方程,§1

33、波函數的統計解釋 §2 態(tài)疊加原理 §3 力學量的平均值和算符的引進 §4 Schrodinger 方程 §5 粒子流密度和粒子數守恒定律 §6 定態(tài)Schrodinger方程,§1 波函數的統計解釋,（一）波函數 （二）波函數的解釋 （三）波函數的性質,3個問題？,描寫自由粒子的平 面 波,如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不

34、同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：,描寫粒子狀態(tài)的波函數，它通常是一個復函數。,稱為 de　Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數。,(1) ? 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) ? 如何體現波粒二象性的？,(3) ? 描寫的是什么樣的波呢？,（一）波函數,返 回§1,（1）兩種錯誤的看法,1. 波由粒子組成,如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看

35、法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。,波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,O,事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現象。,2. 粒子由波組成,電子是波

36、包。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 什么是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。

37、 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小≈1 Å 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經典的粒子也不是經典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一?！?

38、 這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。,1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;,我們再看一下電子的衍射實驗,2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.,,結論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統計結果。 波函數正是為了描述

39、粒子的這種行為而引進的，在此基礎上，Born 提出了波函數意義的統計解釋。,r 點附近衍射花樣的強度 ?正比于該點附近感光點的數目， ?正比于該點附近出現的電子數目， ?正比于電子出現在 r 點附近的幾率。,在電子衍射實驗中，照相底片上,據此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統計規(guī)律性，波函數Ψ (r)有時也稱為幾率幅。

40、 這就是首先由 Born 提出的波函數的幾率解釋，它是量子力學的基本原理。,假設衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，與光學相似， 衍射花紋的強度則用 |Ψ (r)|2 描述，但意義與經典波不同。,|Ψ (r)|2 的意義是代表電子出現在 r 點附近幾率的大小， 確切的說， |Ψ

41、(r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 點處，體積元Δx Δy Δz中找到粒子的幾率。波函數在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，,（三）波函數的性質,在 t 時刻， r 點，d τ = dx dy dz 體積內，找到由波函數 Ψ (r,t)描寫的粒子的幾率是：

42、 d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系數。,根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：,（1）幾率和幾率密度,在 t 時刻 r 點，單位體積內找到粒子的幾率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 稱為幾

43、率密度。,在體積 V 內，t 時刻找到粒子的幾率為： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ,（2）平方可積,由于粒子在空間總要出現（不討論粒子產生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 從而得常數 C

44、 之值為： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ,這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數Ψ必須是絕對值平方可積的函數。,若,∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ? ∞, 則 C ? 0, 這是沒有意義的。,（3）歸一化波函數,這與經典波不同。經典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應的波動能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經典波無歸一化問題。,Ψ (r , t )

45、和 CΨ (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C 是常數。 因為在 t 時刻，空間任意兩點 r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：,由于粒子在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 Ψ (r, t) 和

46、 CΨ (r, t) 描述同一狀態(tài),可見，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因子不定性。,歸一化常數,若 Ψ (r , t ) 沒有歸一化， ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常數），則有 ∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1,也就是說，(A)-

47、1/2Ψ (r , t )是歸一化的波函數， 與Ψ (r , t )描寫同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子。,注意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因子不定性。 若Ψ (r , t )是歸一化波函數，那末， exp{iα}Ψ (r , t ) 也是歸一化波函數（其中α是實數）

48、，與前者描述同一幾率波。,（4）平面波歸一化,I Dirac ?—函數,定義：,或等價的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數 f（x）有：,?—函數 亦可寫成 Fourier 積分形式：,令 k=px/?, dk= dpx/?, 則,性質：,（4）平面波歸一化,I Dirac ?—函數,定義：,或等價的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數 f（x）有：,?—函數 亦可寫成 Fourier 積分形式：,令 k=

49、px/?, dk= dpx/?, 則,性質：,II 平面波 歸一化,寫成分量形式,t=0 時的平面波,考慮一維積分,若取 A12 2?? = 1，則 A1= [2??]-1/2, 于是,,,三維情況：,其中,注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。,作 業(yè) 補 充 題,§2 態(tài)疊加原理,（一）態(tài)疊加原理 （二）動量空間（表象）的波函數,（

50、一）態(tài)疊加原理,微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產生衍射。因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數決定體系的狀態(tài)，稱波函數為狀態(tài)波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。,,考慮電子雙縫衍射,Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ

51、2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*],Ψ,電子穿過狹縫１出現在Ｐ點的幾率密度,電子穿過狹縫２出現在Ｐ點的幾率密度,相干項 正是由于相干項的出現，才產生了衍射花紋。,一個電子有 Ψ1 和 Ψ2 兩種可能的狀態(tài)，Ψ 是這兩種狀態(tài)的疊加。,其中C1 和 C2 是復常數，這就是量子力學

52、的態(tài)疊加原理。,態(tài)疊加原理一般表述： 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...為復常數)。 也是體系的一個可能狀態(tài)。

53、 處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于 Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...,一般情況下，如果Ψ1和Ψ2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是該體系的一個可能狀態(tài).,例：,電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量 p 運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用de　Broglie 平面波表示,根據疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成 p 取各種可能值的平面波的線

54、性疊加，即,而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。,Ψ,Ψp,（二）動量空間（表象）的波函數,Ψ (r,t)是以坐標 r 為自變量的波函數， 坐標空間波函數，坐標表象波函數； C(p, t) 是以動量 p 為自變量的波函數， 動量空間波函數，動量表象波函數； 二者描寫同一量子狀態(tài)。,波函數Ψ (r,t) 可用各種不同動量的平面波表示， 下面我們

55、給出簡單證明。,展開系數,令,則 Ψ可按Фp 展開,若Ψ (r,t)已歸一化，則 C(p, t)也是歸一化的,,§3 力學量的平均值和算符的引進,（一）力學量平均值 （1）坐標平均值 （2）動量平均值 （二）力學量算符 （1）動量算符 （2）動能算符 （3）角動量算符 （4）Hamilton 算符,（一）力學量平均值,在統計物理中知道，,當可能值為離散值時: 一個物理量的平均值等于物理量出現

56、的各種可能值乘上相應的幾率求和； 當可能值為連續(xù)取值時：一個物理量出現的各種可能值乘上相應的幾率密度求積分。 基于波函數的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標和動量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。,（1）坐標平均值,為簡單計，剩去時間ｔ變量（或者說，先不考慮隨時間的變化） 設ψ(x) 是歸一化波函數，|ψ (x)|2 是粒子出現在x點的幾率密度，則,對三維情況，設ψ(r) 是歸一化波函數，|ψ(r)|2是粒子出現在 r 點的

57、幾率密度，則x的平均值為,（2）動量平均值,一維情況：令ψ(x)是歸一化波函數，相應動量表象波函數為,（二）力學量算符,簡言之，由于量子力學和經典力學完全不同，它是用波函數描寫狀態(tài)，所以力學量也必須改造成與經典力學不同的算符形式（稱為第一次量子化）。,（1）動量算符,既然ψ(x) 是歸一化波函數，相應動量表象波函數為c(px) 一 一 對應，相互等價的描述粒子的同一狀態(tài)，那末動量的平均值也應可以在坐標表象用ψ(x)表示出來。但是ψ(x)

58、不含px變量，為了能由ψ(x)來確定動量平均值，動量 px必須改造成只含自變量 x 的形式，這種形式稱為動量 px的算符形式，記為,一維情況：,比較上面二式得兩點結論：,而動量 px 在坐標表象（非自身表象）中的形式必須改造成動量算符形式：,三維情況：,由歸一化波函數ψ(r)求 力學量平均值時，必須把該力學量的算符夾在ψ*(r)和ψ(r)之間,對全空間積分，即,F 是任一 力學量算符,（2）動能算符,（3）角動量算符,（4）Ham

59、ilton 算符,作 業(yè) 補充題,§4 Schrodinger 方程,（一）引 （二）引進方程的基本考慮 （三）自由粒子滿足的方程 （四）勢場 V (r) 中運動的粒子 （五）多粒子體系的Schrodinger方程,這些問題在1926年Schrodinger 提出了波動方程之后得到了圓滿解決。,微觀粒子量子狀態(tài)用波函數完全描述，波函數確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分布也

60、都被完全確定，波函數完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：,(1)在各種情況下，找出描述系統的各種可能的波函數； (2)波函數如何隨時間演化。,（一）引,（二）引進方程的基本考慮,從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t 粒子的狀態(tài) r 和 p 。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數，所以方程是時間的二階常微分方程。,讓我們先回顧一下經典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。,（1）經典情況

61、,（2）量子情況,3．第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如 p, E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。,1．因為，t = t0 時刻，已知的初態(tài)是ψ( r, t0) 且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數所滿足的方程只能含ψ對時間 的一階導數。,2．另一方面，ψ要滿足態(tài)疊加原理，即，若ψ1( r, t ) 和ψ2( r, t )是方程的解，那末。 ψ( r, t)= C1ψ1( r, t

62、 ) + C2ψ2( r, t ) 也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含ψ, ψ對時間的一階導數和對坐標各階導數的一次項，不能含它們的平方或開方項。,（三）自由粒子滿足的方程,這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量 E 。將Ψ對坐標二次微商，得：,將上式對 t 微商，得：,(1)–(2)式,滿足上述構造方程的三個條件,討論：,通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關系式 E = p2/2μ

63、 寫成如下方程形式：,做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。,,(1)–(2)式,返回,（四）勢場 V(r) 中運動的粒子,該方程稱為 Schrodinger 方程，也常稱為波動方程。,若粒子處于勢場 V(r) 中運動，則能動量關系變?yōu)椋?將其作用于波函數得：,做（4）式的算符替換得：,（五）多粒子體系的 Schrodinger 方程,設體系由 N 個粒子組成， 質量分別為 μi (i = 1, 2,.

64、.., N) 體系波函數記為 ψ( r1, r2, ..., rN ; t) 第i個粒子所受到的外場 Ui(ri) 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ..., rN) 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為：,多粒子體系 Hamilton 量,對有 Z 個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用：,而原子核對第 i 個電子的 Coulomb 吸引能為：,假定原子核位于

65、坐標原點，無窮遠為勢能零點。,例如：,§5 粒子流密度和粒子數守恒定律,（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數的性質,（一） 定域幾率守恒,考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，即,在討論了狀態(tài)或波函數隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內出現的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在 t 時刻 r 點周圍單位體積內粒子出現的幾率即

66、幾率密度是：,證：,考慮 Schrodinger 方程及其共軛式：,取共軛,在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：,閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內的增量,J是幾率流密度，是一矢量。,所以(7)式是幾率（粒子數）守恒的積分表示式。,令 Eq.（7）τ趨于 ∞，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.（7）變?yōu)椋?,其微分形式與流體力學中連續(xù)性方程的形式相同,使

67、用 Gauss 定理,單位時間內通過τ的封閉表面 S 流入（面積分前面的負號）τ內的幾率,,討論：,表明，波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。,（1） 這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現這種變化。,同理可得量子力學的電荷守恒定律：,表明電荷總量不隨時間改變,（二）再論波函數的性質,1. 由 Born 的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已

68、知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d ω(r, t) = |ψ(r, t)|2 d τ 2. 已知 ψ(r, t)， 則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學量就都知道了。所以波函數又稱為狀態(tài)波函數或態(tài)函數。 3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。,（1）波函數完

69、全描述粒子的狀態(tài),（2）波函數標準條件,1. 根據Born統計解釋 ω(r, t) = ψ*(r, t) ψ(r, t)是粒子在t時刻出現在 r點的幾率，這是一個確定的數，所以要求ψ(r, t)應是 r, t的單值函數且有限。,式右含有ψ及其對坐標一階導數的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續(xù)且其一階導數亦連續(xù)。 概括之，波函數在全空間每一點通常應