公開課線段的垂直平分線(1)性質(zhì)定理與判定定理

1、,A,B,L,實(shí)際問題,在104國道L的同側(cè)，有兩個(gè)工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的人到醫(yī)院的路程相等，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？,104 國 道,1.3線段的垂直平分線（1）,聶家中學(xué) 孟丹,1、會(huì)證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理． 2、會(huì)運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)定理解決實(shí)際問題3、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于現(xiàn)實(shí)生活，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。,學(xué)習(xí)目標(biāo),線段的垂

2、直平分線,,已知:如圖,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.,老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.,我們?cè)?jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?,我來學(xué),,證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC（已知）PC=PC（公共邊）∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)

3、到這條線段 的兩端點(diǎn)的距離相等,溫馨提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,圖形語言,,逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.它是真命題嗎?如果是.請(qǐng)你證明它？,已知:如圖,PA=PB.求證:點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.,你能寫出“定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等”的逆命題嗎?,小組討論：,已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法

4、一：取AB的中點(diǎn)C，過點(diǎn)P,C作直線PC ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．,C,,,,發(fā)散思維，一題多解,已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

5、證法二：過P點(diǎn)作∠APB的角平分線交AB于點(diǎn)C．∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180 °∴∠PCA=∠PCB=90°∴P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上．,發(fā)散思維，一題多解,已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB。求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上。證法三：過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC，,發(fā)散思

6、維，一題多解,PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)． ∴AC=BC即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．,∵PA=PB(已知)∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).,溫馨提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.,逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.,圖形語言,,求證：直線 AO 垂直平分線段BC．,例

7、1、已知：如圖 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 OB = OC.,∵ AB=AC∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）. 又∵ OB=OC∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上.∴直線 AO 垂直平分線段BC．,,A,B,L,實(shí)際問題,在104國道L的同側(cè)，有兩個(gè)工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得

8、兩個(gè)工廠的人到醫(yī)院的路程相等，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？,104 國 道,線段的垂直平分線,1、如圖，在公路L上求作一點(diǎn)P（醫(yī)院），使PA=PB.,數(shù)學(xué)問題源于生活實(shí)踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實(shí)踐服務(wù),,,1、如圖：直線MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C為垂足，請(qǐng)問在圖形中有哪些相等的線段？為什么？有相等的角嗎？,我來用,老師期望:養(yǎng)成準(zhǔn)確表達(dá)的好習(xí)慣.,駛向勝利的彼岸,2.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D

9、,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長等于50,求BC的長.,老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點(diǎn)東西,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.,,用心想一想，馬到成功,,3.已知：如圖AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn)， 求證：PB=PC,本題綜合運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，認(rèn)真寫出過程哦！,用心想一想，馬到成功,,我來思,結(jié)束寄語,嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家,有道德之于人.證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).這是初學(xué)證明者謹(jǐn)