華師大版八年級數(shù)學上冊第13章全等三角形復習課件

1、小結(jié)與復習,第13章 全等三角形,,要點梳理,,,考點講練,,,,課堂小結(jié),,,,課后作業(yè),,,,,,,,,,,,,,1．命題判斷某一件事情的語句叫做　 　.注意兩點“判斷”和“語句”．所謂判斷就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……，則……”“……是……”等，但是，如“連結(jié)A、B兩點”就不是命題；所謂語句，要求完整，且是陳述句，不是疑問句、祈使句等，如“如果兩直線平行”敘述不完整，也不是命題．2．命

2、題的組成每個命題都是由　 　和　 　兩部分組成的．條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項．命題一般寫成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論．,條件,結(jié)論,要點梳理,命題,,,,,,,,3．命題的真假命題有真有假，其中正確的命題叫做　 ??；錯誤的命題叫做　 　.事實上，要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一個例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子

3、稱為反例．要說明一個命題是真命題需根據(jù)基本事實和定理證明．4．基本事實與定理經(jīng)過長期的實踐總結(jié)出來，并把它們作為判斷其他的命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做　 　.從基本事實或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做　 　.,真命題,假命題,基本事實,定理,,,,,,,,5．判定三角形全等主要有五種方法：(1)全等三角形的定義：三邊對應(yīng)相等，三

4、角對應(yīng)相等的兩個三角形　 ??；(2)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形　 　(簡記為：S.S.S.)；(3)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形　 　(簡記為：A.S.A.)；(4)兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡記為：A.A.S.)；(5)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡記為：S.A.S.)．若是直角三角形，則除了上述五種方法外，還有一種方法：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(簡記為：H.

5、L.)．,全等,全等,全等,,,,,,,,6．證全等三角形的思路,,,,,,,,,7．全等三角形的性質(zhì)(1)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；(2)全等三角形的面積相等，周長相等；(3)全等三角形的對應(yīng)線段(高線、中線、角平分線)相等．,,,,,,,8．等腰三角形的性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等，簡寫成“等邊對等角”．(2)判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．簡稱“等角對等邊”，它的逆

6、定理應(yīng)該是“等邊對等角”．9．等邊三角形(1)等邊三角形的各個角都相等，并且每一個角都等于60°.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．10．尺規(guī)作圖把只能使用　 　這兩種工具作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖．,沒有刻度的直尺和圓規(guī),,,,,,11．常見的基本作圖(1)作　 　等于已知線段；(2)作一個角等于　　角；(3

7、)作已知角的平分線；(4)過已知點作已知直線的　 　；(5)作已知線段的垂直　 　線．12．互逆命題在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的　 　，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的　 　，那么這兩個命題叫做互逆命題．13．逆命題每一個命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成　 　，并將結(jié)論改成　 　，便可以得到原命題的逆命題．,一條線段,已知,垂線,平分,結(jié)論,條件,結(jié)論,條件,,,,,,,[注意] 每一個

8、命題都有逆命題，只要將原命題的題設(shè)改成結(jié)論，并將結(jié)論改成題設(shè)，便可以得到原命題的逆命題．但原命題正確，它的逆命題未必正確．如對于真命題“如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等”的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”，此命題就是一個假命題．14．逆定理如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么，它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的　 　定理．[注意] 每個命題都有逆命題，但一個定理不一定有逆定理

9、．如“對頂角相等”就沒有逆定理．,逆,,,,,,,15．垂直平分線到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的　 　. 它的逆定理是：線段垂直平分線上的點到　 .[注意] 前面是線段垂直平分線的判定，后面是線段垂直平分線的性質(zhì)．16．角的平分線角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．它的逆定理是：到角的兩邊距離相等的點在　 　.[注意] 前面是角平分線的性

10、質(zhì)，后面是角平分線的判定．,垂直平分線上,線段兩端點的距離相等,角的平分線上,例1 下列命題中是假命題的是(　　)A．三角形的內(nèi)角和是180°B．多邊形的外角和都等于360°C．五邊形的內(nèi)角和是900°D．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,考點講練,【解析】要說明一個命題是真命題，需要經(jīng)過證明它是正確的．對于A、B、D來說，都是經(jīng)過證明，被認為是正確的，而五邊形的內(nèi)角和是540

11、76;，所以C不正確，故選C.,C,,,,,,命題這部分內(nèi)容的概念多、理論性強，看似雜亂無章，其實只要抓住三點，一切問題也就迎刃而解．主要是識別命題、找出命題的條件和結(jié)論、會判斷命題的真假．,1.下列命題：①兩點確定一條直線；②兩點之間，線段最短；③對頂角相等；④內(nèi)錯角相等；其中真命題的個數(shù)是（　?。〢．1個B．2個C．3個D．4個,C,DF,DE,EF,∠D,∠E,∠F,例2 如圖，已知△ABC≌△DEF，請指出圖中對應(yīng)邊

12、和對應(yīng)角.,【解析】根據(jù)“全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等”解題.,兩個全等三角形的長邊與長邊，短邊與短邊分別是對應(yīng)邊，大角與大角，小角與小角分別是對應(yīng)角.有對頂角的，兩個對頂角一定為一對對應(yīng)角.有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊.有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角.,2.如圖，已知△ABC≌△AED若AB＝6，AC＝2, ∠B＝25°，你還能說出△ADE中其他角的大小和邊的長度嗎？,解：∵△ABC≌△AED，　　 ∴∠E＝∠B

13、＝25°（全等三角形對應(yīng)角相等），,AC=AD=2，AB=AE=6（全等三角形對應(yīng)邊相等）.,例3 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．,∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共邊）， ∠ACB＝∠DBC（已知），,證明：,在△ABC和△DCB中，,,∴△ABC≌△DCB（A.S.A. ）.,【解析】運用“兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等兩個三角形全等”進行判定．,3.已知△

14、ABC和△DEF,下列條件中,不能保證△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE，AC=DF，BC=EF B.∠A= ∠ D，∠ B= ∠ E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，∠A= ∠D D.AB=DE，BC=EF，∠ C= ∠ F,D,4.如圖所示，AB與CD相交于點O, ∠A=∠B，OA=OB 添加條件

15、 ， 所以 △AOC≌△BOD 理由是 .,,∠C=∠D,或∠AOC=∠BOD,A.A.S.或A.S.A.,例4 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于點G,交AB于點E,EF∥BC交AC于點F,求證：∠DEC=∠FEC.,【解析】,欲證∠DEC=∠FEC,由平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為證明∠DEC=∠DCE,只需要證明△DEG ≌ △DCG

16、.,,,證明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.,在△AGE和△AGC中，,∴ △AGE ≌ △AGC(A.S.A.).,∴ GE =GC.,在△DGE和△DGC中，,∴ △DGE ≌ △DGC(S.A.S.).,∴∠DEG = ∠ DCG.,∵EF//BC,,∴ ∠FEC= ∠ECD，,∴ ∠DEG = ∠ FEC.,利用全等三角形證明角相等，首先要找到兩個角所在的兩個三角形，看它們?nèi)鹊臈l件夠不夠；有時會

17、用到等角轉(zhuǎn)換，等角轉(zhuǎn)換的途徑很式，如：余角，補角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，必要時要想到添加輔助線.,5.如圖，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足為B，C，OB=OC，∠BAO=∠CAO嗎？為什么？,解： AO平分∠BAC.,理由如下：∵ OB⊥AB,OC⊥AC，∴ ∠B=∠C=90°. 在Rt△ABO和Rt△ACO中， OB=OC，AO=AO， ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO （H.L.）. ∴ ∠BAO=∠CAO.,例

18、5 如圖，兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？,【解析】將本題中實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題就是證明BD=CD.由已知條件可知AB=AC.AD⊥BC.,解：相等，理由如下：,∵AD⊥BC，,∴∠ADB=∠ADC=90°.,在Rt△ADB和Rt△ADC中，,∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(H.L.).,∴BD=CD.,利用全等三角形可以測量一些不

19、易測量的距離，長度，還可對某些因素作出判斷，一般采用以下步驟：（1）先明確實際問題；（2）根據(jù)實際抽象出幾何圖形；（3）經(jīng)過分析，找出證明途徑；（4）書寫證明過程.,,,,,6.小明想設(shè)計一種方案，測一下沼澤地的寬度AB的長度，如圖所示，他在AB的垂線BM上分別取出C，D兩點，使CD＝BC，再過D點作出BM的垂線DN，并在DN上找一點E，使A，C，E三點共線，這時所測得DE的長就是這塊沼澤地的寬AB的長度，你能說明理由嗎？,解：

20、在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，根據(jù)“A.S.A.”的判定定理可以判定△ABC≌△EDC，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得AB＝DE.,例6 如圖，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證： ∠BAC=2∠DBC.,【解析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數(shù)量關(guān)系.,證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點E,如圖，則,∵

21、AB=AC, ∴AE⊥BC.,∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.,∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.,∴ ∠ 2= ∠DBC.,∴ ∠BAC= 2∠DBC.,等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點之一，它們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形的特殊情形—等邊三角形的性質(zhì)與判定應(yīng)用也很廣泛，有一個角是30°的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間的倍分關(guān)系的重要手段.,7.如圖，在△ABC中，A

22、C=BC, ∠ACB=90°,點D是AC上的一點，AE垂直BD的延長線于點E,且AE= BD.求證：BD平分∠ABC.,C,C,F,證明：延長AE交BC的延長線于點F,如圖所示.,∵∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠ACB=90°.,∵∠F+∠FAC=90°, ∴∠F+∠EBF=90°.,∵∠FAC=∠EBF.,在△ACF和△BCD中，,∴ △ACF≌△BCD(ASA).,∴

23、AF=BD.,在△AEB和△FEB中，,∴ △AEB≌△FEB(S.A.S.).,C,∵AE= BD,,∴ ∠ABE=∠FBE,,即BD平分∠ABC.,∴AE=EF.,例7 如圖，等邊△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別同時從點A，B，C出發(fā)，以相同的速度在AB，BC，CA上運動，連結(jié)DE，EF，DF．求證：△DEF是等邊三角形.,【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=

24、BE=CF，進一步證得BD=EC=AF，即可證得△ADF≌△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF=FD，即可證得△DEF是等邊三角形.,,,,,,證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA.∵AD=BE=CF，∴BD=EC=AF.在△ADF，△BED和△CFE中，,∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE=EF=FD，∴△DEF是等邊三角形.,,,,8.如圖，△ABC

25、是等邊三角形，D是AB邊上一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側(cè)，連結(jié)AE.求證：△DBC≌△EAC.,證明：∵△ABC和△EDC是等邊三角形，∴∠BCA＝DCE＝60°，∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC.,,,,,9.如圖，△ABC為等邊三角形，又DE⊥BC，EF⊥AC，

26、FD⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，D，則△DEF是等邊三角形嗎？說明你的理由．,解：是等邊三角形．理由如下：∵EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°.∴∠AFD＝30°，∴∠DFE＝60°.同理可證∠FDE＝∠DEF＝60°，∴△DEF是等邊三角形．,,,,,例8 用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC

27、＝∠BOC的依據(jù)是(　　),,A．S.S.S.B．A.S.A.C．A.A.S.D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等,A,【解析】 由作法可得OM＝ON，MC＝NC，∵OC＝OC，∴△ONC≌△OMC(S.S.S.)．故選A.,,,,,作角的平分線，實際上就是平分已知角．作已知角的平分線的理論依據(jù)是判定三角形全等的“S.S.S.”.,10.如圖，是用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是（　　

28、）A．S.A.S.B．S.S.S.C．A.A.S.D．A.S.A.,B,,,,,11.如圖，已知在△ABC中，AB=AC．（1）試用直尺和圓規(guī)在AC上找一點D，使AD=BD（不寫作法，但需保留作圖痕跡）．（2）在（1）中，連接BD，若BD=BC，求∠A的度數(shù),解：（1）如圖所示.,（2）設(shè)∠A=x，∵AD=BD，∴∠DBA=∠A=x，在△ABD中，∠BDC=∠A+∠DBA=2x，又∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x，

29、又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°．,,,,,例9 判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命題并判斷它們的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果點P到線段AB兩端點的距離相等，那么P在線段AB的垂直平分線上．,解：(1)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假．(2

30、)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點P到線段AB兩端點的距離相等．其逆命題也是真命題．,【解析】寫一個命題的逆命題，將命題的條件和結(jié)論交換 位置，有時要添加適當?shù)脑~語，使語句通暢．,（1）寫出一個命題的逆命題關(guān)鍵是分清它的條件和結(jié)論，然后將條件和結(jié)論互換.將命題的條件和結(jié)論交換位置，有時要添加適當?shù)脑~語，使語句通暢．（2）原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，其逆命題不一定是假命

31、題.要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可；而要判斷一個命題是真命題，則需通過推理論證得出.,12.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）若x=1，則x2=1；（2）若|a|=|b|，則a=b.,解：（1）逆命題：若x2=1，則x=1．是假命題.（2）逆命題：若a=b，則|a|=|b|．是真命題.,,,,,例10 如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4.5,分別以A、B為圓心，4為半徑畫弧交于兩點，過這兩點的直線交

32、AC于點D，連結(jié)BD，則△BCD的周長是________．,10.5,【解析】由題意可知過這兩點的直線其實是AB邊的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可以得BD＝AD.∵AC＝6，BC＝4.5，∴△BCD的周長＝BD＋CD＋BC ＝AD＋CD＋BC ＝AC＋BC

33、 ＝6＋4.5 ＝10.5.,本題集垂直平分線的畫法、垂直平分線的性質(zhì)、整體的思想、轉(zhuǎn)化的思想于一題求線段的長，是中考的一個新的題型，希望引起讀者注意．,13. 如圖，已知△ABC，直線PM是線段AC的垂直平分線，射線AP是∠BAC的平分線，P是兩線的交點，且CP＝3 cm，PM＝2 cm，求點P到直線AB的距離及到A點的距離．,解：∵點P在線段AC的垂直平分線上，∴PA＝PC.

34、∵CP＝3 cm，∴PA＝3 cm.∵AP是∠BAC的平分線，∴點P到AB的距離等于PM的長．∴點P到AB的距離等于2 cm，到A點的距離為3 cm.,例11 如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點，∠PCB+ ∠BAP=180 °，求證:PA=PC.,【解析】由角平分線的性質(zhì)易想到過點P向∠ABC的兩邊作垂線段PE，PF，構(gòu)造角平分線的基本圖形.,證明:過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.,∵∠1=∠2,P

35、E⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.,∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.,∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又知∠BAP+∠EAP=180 °.,∴ ∠EAP=∠PCB.,在△APE和△CPF中，,∴ △APE ≌ △CPF(AAS)，,∴ AP=CP.,【證法2思路分析】由角是軸對稱圖形，其對稱軸是角平分線所在的直線，所以可想到構(gòu)造軸對稱圖形.方法是在BC上截取BD=AB,連接PD（如

36、圖）.則有△PAB≌△PDB,再證△PDC是等腰三角形即可獲證.,B,證明過程請同學們自行完成！,D,角的平分線的性質(zhì)是證明線段相等的常用方法。應(yīng)用時要依托全等三角形發(fā)揮作用.作輔助線有兩種思路，一種作垂線段構(gòu)造角平分線性質(zhì)基本圖；另一種是構(gòu)造軸對稱圖形.,14.如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點， PA=PC ，求證:∠PCB+ ∠BAP=180 °.,【證明】過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.,∵∠1=∠

37、2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.,∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.,在Rt△APE和Rt△CPF中，,∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(H.L.).,∴ ∠ EAP= ∠ FCP.,∵ ∠BAP+∠EAP=180 °，,∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °.,想一想：本題如果不給圖，條件不變，請問∠PCB與∠PAB有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？,分類討論思想,例12 等腰三角形的周長為

38、20cm,其中兩邊的差為8cm,求這個等腰三角形各邊的長.,【解析】要考慮腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況.,解：若腰比底邊長，設(shè)腰長為xcm,則底邊長為（x-8)cm，根據(jù)題意得 2x+x-8=20, 解得 x= , ∴x-8= ;若腰比底邊短，設(shè)腰長為ycm,則底邊長為（y+8)cm,根據(jù)題意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合題意.故此等腰三角形的三邊長分別為,根

39、據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求邊長或度數(shù)時，若已知條件未明確所給的角是頂角還是底角、所給的邊是腰還是底邊時，要分兩種情況才能使答案不致缺漏，同時，求出答案后要和三角形的內(nèi)角和定理及三角形三邊關(guān)系對照，若不符合，則答案不成立，要舍去，這樣才能保證答案準確.,15.等腰三角形的兩邊長分別為4和6，求它的周長.,解：①若腰長為6，則底邊長為4，周長為6+6+4=16；②若腰長為4，則底邊長為6，周長為4+4+6=14.故這個三角形的周長為14或16