中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)滾動(dòng)小專題：矩形中的折疊問(wèn)題

1、滾動(dòng)小專題 滾動(dòng)小專題(九) 矩形中的折疊問(wèn)題 矩形中的折疊問(wèn)題——人教八下 人教八下 P64 數(shù)學(xué)活動(dòng) 數(shù)學(xué)活動(dòng) 1 的變式與應(yīng)用 的變式與應(yīng)用【教材母題】 如果我們身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又需要作 60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如圖)：(1)對(duì)折矩形紙片 ABCD，使 AD 與 BC 重合，得到折痕 EF，把紙片展平；(2)再一次折疊紙片，使點(diǎn) A 落在EF 上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)

2、B，得到折痕 BM.同時(shí)，得到了線段 BN.觀察所得的∠ABM，∠MBN 和∠NBC，這三個(gè)角有什么關(guān)系？你能證明嗎？通過(guò)證明可知，這是從矩形得到 30°角的好方法，簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確，因此，15°，60°，150°等角就容易得到了．【自主解答】 ∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.證明：過(guò)點(diǎn) N 作 NG⊥BC 于點(diǎn) G.由折疊知，△ABM≌△NBM，BN＝AB＝2BE.易知四邊形 BGNE

3、 是矩形，∴NG＝BE＝ BN.12∴在 Rt△BNG 中，∠NBG＝30°.又∠ABM＝∠NBM，∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBG＝30°.【方法歸納】 1.折疊的常見圖形有：2．折疊的性質(zhì)：圖形的折疊部分在折疊前后是全等圖形，兩圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱．3．折疊問(wèn)題常用方法：(1)找出折疊后出現(xiàn)的等角、等邊并結(jié)合圖形本身特點(diǎn)借助于勾股定理構(gòu)造方程求解；(2)利用相似三角形由相似比列方程求解．1．(2016·南

4、充)如圖，對(duì)折矩形紙片 ABCD，使 AB 與 DC 重合得到折痕 EF，將紙片展平，再一次折疊，使點(diǎn) D落到 EF 上 G 點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，展平紙片后∠DAG 的大小為(C)A．30°B．45° C．60° D．75°第 1 題圖 第 2 題圖2．將矩形 ABCD 沿 AE 折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CED′＝60°，則∠BAD′的大小是(A)A．30&

5、#176; B．45°C．50° D．60°3．如圖，ABCD 是矩形紙片，翻折∠B，∠D，使 BC，AD 邊與對(duì)角線 AC 重疊，且頂點(diǎn) B，D 恰好落在同一點(diǎn)O 上，折痕分別是 CE，AF，則 等于(B)AEEBA.B．2 C．1.5 D. 3 2∴∠A′BE＝∠A′BF.由翻折的性質(zhì)，得∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF.∴∠ABE＝ ×90°＝30&

6、#176;.13(2)∵沿 EA′所在的直線折疊，點(diǎn) B 落在 AD 上的點(diǎn) B′處，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF.∴四邊形 BFB′E 為菱形．9．(2017·濟(jì)寧)實(shí)驗(yàn)探究：(1)如圖 1，對(duì)折矩形紙片 ABCD，使 AD 與 BC 重合，得到折痕 EF，把紙片展開；再一次折疊紙片，使點(diǎn) A落在 EF 上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，得到折痕 BM，同時(shí)得到線段 BN，MN.請(qǐng)你觀察圖

7、1，猜想∠MBN 的度數(shù)是多少，并證明你的結(jié)論．(2)將圖 1 中的三角形紙片 BMN 剪下，如圖 2，折疊該紙片，探究 MN 與 BM 的數(shù)量關(guān)系，寫出折疊方案，并結(jié)合方案證明你的結(jié)論．解：(1)猜想：∠MBN＝30°.證明：連接 AN.∵直線 EF 是 AB 的垂直平分線，∴AN＝NB.由折疊可知，BN＝AB.∴AB＝BN＝AN.∴△ABN 是等邊三角形．∴∠ABN＝60°.∴∠MBN＝∠ABM＝ ∠ABN＝30