聲表面波器件的快速精確模擬

1、中國科學: 物理學 力學 天文學 2011 年 第 41 卷 第 10 期: 1 ~ 6 SCIENTIA SINICA Phys, Mech 接受日期: 2011-08-05 國家自然科學基金資助項目(批準號: 10834010, 61071054, 10774159) 摘要 該文提出了聲表面波器件有限元/邊界元(Finite Element Method/Boundary Element Method, FEM

2、/ BEM)模擬的快速計算方法. FEM/BEM 方法作為一種全波分析方法, 考慮了所有聲波模式, 能實現(xiàn)對聲表面波器件的精確模擬, 但 FEM/BEM 方法一般計算量大而難以實用, 國內外已有工作圍繞提高 FEM/BEM 法的計算速度展開. 本文將在 Ventura 工作的基礎上, 優(yōu)化占主要計算量的體波貢獻. 首先對固定的半無限長壓電基片的格林函數(shù)用分段多項式函數(shù)近似, 以避免復雜格林函數(shù)的反復計算, 然后推導出近似后的積分之間的遞

3、推關系式, 編寫遞推算法, 并通過實例驗證了遞推算法能達到精度要求且提高了計算速度. 最后采用優(yōu)化后的 FEM/BEM 程序對一種縱向耦合(Double Mode Saw, DMS)濾波器進行模擬, 模擬結果與實驗結果吻合. 關鍵詞 FEM/BEM, 格林函數(shù), 遞推算法 PACS: 43.35.Pt, 43.38.Rh, 43.58.Ta, 02.70. Pt 聲表面波器件模擬方法可分為兩大類: 一類是唯象模型, 如

4、脈沖響應模型[1], 等效電路模型[2], 耦合模模型[3～6]. 脈沖響應模型忽略了指條間內反射效應, 而高性能器件通常需要利用指條間內反射效應. 等效電路模型與耦合模模型考慮了指條間內反射效應, 但模型參數(shù)由其他方法得到[7,8], 對于非周期結構器件很難得到精確的參數(shù). 另一類是精確模型, 如有限元, 邊界元(BEM)等全波分析方法, 考慮了所有聲波模式. 有限元法計算量很大, 對于周期結構[9]可以只模擬一個周期從而計算量小,

5、但是對于有限長的非周期結構和半無限大的壓電基片的聲波模式分析時候面臨網格多、計算量巨大的問題. BEM 法由Milsom 等人[10]等提出, 與有限元相比可快速地模擬壓電基片的所有聲波模式, 但沒有考慮實際應用器件中的指條形狀和質量負載效應. 目前國內外學者采用 FEM/BEM 結合的方法, 同時兼顧了 FEM 和BEM 的優(yōu)點, 采用 FEM 法模擬任意形狀的指條, BEM 法模擬半無限大的壓電基片, 實現(xiàn)對聲表面波器件的精確模擬同

6、時計算量較 FEM 小. BEM 法模擬基片需要做大量的積分運算, 積分函數(shù)中包含格林函數(shù)等復雜函數(shù), 根據格林函數(shù)分為靜電, 表面波, 漸進項和體波四部分[10], 可以將積分運算分為對應的靜電, 表面波, 漸進項和體波四部分貢獻分別計算, 其中以體波計算最復雜導致體波貢獻計算量最大, 與體波貢獻計算量相比, 其他三部分計算量可以忽略, 體波貢獻計算量大導致 FEM/BEM 模擬時間長, 因此優(yōu)化體波貢獻計算是實現(xiàn) FEM/BEM 法

7、快速模擬的關鍵. 國內外已有研究就圍繞提高 FEM/BEM 法中國科學: 物理學 力學 天文學 2011 年 第 41 卷 第 10 期 3 ? ? 1 e d . 2jwsx H s s s?? ??? ? ??(5) 在(4)式中, 界面上應力矢量和電荷密度除了指條和基片的接觸面不為零外其他地方為零, 所以積分區(qū)域是所有指條和基片的接觸面. 界面上應力和電荷密度可用切比雪夫多項式加權的基函數(shù)[16] 近似如(6)式, 界面上

8、位移和電勢可用(7)式離散化. 擬合項數(shù) Nch 為 3~5 就可達到較高的精度. ? ? ? ?2 10 1 ,sur t Nch j j j sur n n j j j nb x c x c t x T x a a b? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(6) ? ? ? ?? ? 12 1 d , 1u m i

9、 i ii i i mT x u a x c b x a x c b x ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(7) 其中 m=0,…,Nch-1, Nch 為擬合項數(shù), i, j=0,…,Ne-1, Ne 為指條根數(shù). bj tsur, bjσ, bi u, biφ為第 i 或 j 根指條上各場量的離散化系數(shù), ci, ai 為 i 根指條的中心位置和寬度的一半, Tn(x)為 cheb

10、yshev 多項式函數(shù). 由離散化(4), (6)和(7)式, 可得代數(shù)方程組如下: , , ,sur t u j i j i m ni j m nb b Y b b ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(8) 其中代數(shù)方程組系數(shù) Ym,n i,j 計算公式如下: ? ? ? ?? ?1 1 , , 2 2 1 1 1 1d d .n j m i i j m n jj ii i j j i jT x T x

11、 Y a x xG a x c a x c x x? ? ? ? ?? ? ? ?? ?(9)(8)式是BEM模擬基片得到的方程, 再加上FEM模擬指條得到的方程, 聯(lián)立兩者方程才可求解. FEM 模擬只需考慮聲場, 采用成熟的 FEM 理論方法, 可得節(jié)點應力和位移如下[17]: ? ? 2 K w M U F ? ? , (10) 其中 K,M 為整體剛度矩陣和整體質量矩陣, U, F 為各節(jié)點的位移和外力所組成的矢量. 外力即

12、是界面應力, 只分布在指條和基片的接觸面上, 分布函數(shù)見(6)式. 由有限元理論, 由外力分布可計算出節(jié)點外力 F, 然后求解出節(jié)點位移 U. 由于應力分布函數(shù)由多項組合相加而成, 可根據線性系統(tǒng)理論計算出對應每項的位移, 再組合相加得到總的節(jié)點位移 U=A bi tsur, 其中系數(shù)矩陣 A是由每項計算出的位移組合成的矩陣. 由有限元理論, 界面位移分布函數(shù)可由節(jié)點位移根據行函數(shù)插值得到, 將位移分布函數(shù)代入(7)式, 得到位移離散

13、化系數(shù)與節(jié)點位移的關系 bi u =BU, 其中 B 是系數(shù)矩陣. 所以令 Ye= BA, 則離散化的界面應力和位移之間的關系見(11)式, 其中每根指條都單獨用 FEM 模擬. sur t u i e i b Y b ? , (11) 其中 i =0,…,Ne ?1. 聯(lián)立 BEM模擬結果見(8)式和有限元模擬結果見(11) 式得到最終的代數(shù)方程組, 若指條電勢已知, 即可求解方程組. 實際只知道指條電勢差, 指條電勢則會引入一

14、個變量, 可根據電荷守恒原則再增加一個方程, 每個懸浮指條會引入一個變量, 可根據懸浮指上的電荷守恒原則引入一個新方程[17], 這樣保障未知量和方程數(shù)相同, 方程才可求解. 2 體波快速計算 FEM/BEM 方法主要計算量是代數(shù)方程組系數(shù)Ym,n i,j 的計算, 由于格林函數(shù)可分別四部分貢獻, 該系數(shù)可對應地分為四部分分別計算[16~18]: 靜電貢獻, 表面波貢獻, 漸進項貢獻, 體波貢獻. 而其中體波貢獻計算占用絕大部分計算

15、時間. 本文工作主要是優(yōu)化體波貢獻計算. 將格林函數(shù)的體波貢獻 Gb(x)計算公式如下[16~18]: ? ? ? ? jwsx 1 e d , 2mmb s bsH s G x s s? ?? ? ??(12) 其中[?sm, sm]為積分區(qū)間, sm 取足夠大的值即可. Hb(s)波數(shù)域的格林函數(shù)的體波部分, 即去除零波數(shù)極點和表面波對應極點影響后的格林函數(shù). 將(12)式代入(9)式, 再將二維積分簡化為一維積分, 可得到體

16、波貢獻計算公式如下: ? ?? ? ? ? ? ?, ,e d , 2mmb i j m nb s j n m jws m i n j sYa H s j J wsa J wsa s s? ? ???? ?(13)其中?=ci?cj, Jn(x)為第一類貝塞爾函數(shù). 對于特定的壓電基片, 格林函數(shù)是確定的, 可用簡單函數(shù)擬合. 本文采用分段多項式函數(shù)擬合格林函數(shù), 擬合方法采用的是最佳一致逼近的里米茲算法, 該算法能直接計算出擬合精