幾類拋物型方程（組）性質(zhì)的研究.pdf

1、本文研究拋物型方程（組）的幾種性質(zhì)，包括解的局部存在性和唯一性，解的整體存在性，解的有限時(shí)刻爆破，解的生存跨度以及解的有限時(shí)刻熄滅等.
　　第一章研究具有非齊次非局部邊界條件的拋物型方程組ut=△u+vp， x∈Ω，t＞0，vt=△v+uq， x∈Ω，t＞0，u(x,t)=∫Ω f(x，y)ur(y, t)dy,x∈(e)Ω,t＞0,v(x,t)=∫Ω g(x，y)vr(y，t)dy,x∈(e)Ω,t＞0,u(x，0)=u0(x)

2、，v(x，0)=v0(x），x∈Ω，解的整體存在和有限時(shí)刻爆破性質(zhì).這里Ω是RN(N≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域，參數(shù)p，q，r＞0.f(x，y)，g（x，y）是定義在(e)Ω×Ω上的非負(fù)函數(shù).初值函數(shù)(u0(x)，v0(x))∈C2+α（(Ω)），其中α∈(0，1)，u0(x)，v0(x）≥0，(≠)0，并且滿足相容性條件.運(yùn)用壓縮映射和上下解的方法證明了如下結(jié)果:
　　(i)假設(shè)p，q≤1，r≤1.對(duì)任意非負(fù)初值（u0，v0

3、），解(u，v)是整體存在的.
　?。╥i）假設(shè)p，q＞1.如果r＞1且h0|Ω|＞Kmin{p，q}，那么對(duì)于適當(dāng)大的初值(u0，v0)，解（u，v）在有限時(shí)刻爆破.
　　(iii)假設(shè)p＞1＞q或q＞1＞p.如果pq＜1，r≤1，并且對(duì)任意x∈(e)Ω，有fΩf(x，y)dy≤1，fΩg(x，y)dy≤1，那么對(duì)適當(dāng)小的初值函數(shù)（u0，v0），解（u，v）是整體存在的.
　?。╥v）假設(shè)p＞1＞q或者q＞1＞p.如

4、果pq＞1，r≥1，并且對(duì)任意x∈(e)Ω，有fΩf(x，y)dy≥1，fΩg(x，y)dy≥1，那么對(duì)適當(dāng)大的初值(u0，v0)，解(u，v)在有限時(shí)刻爆破.
　　第二章研究具有非線性非局部邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程ut=△u+c(x,t)up∫Ωuq(y,t)dy,x∈Ω,t＞0,(e)u/(e)v=∫Ωk（x，y，t）ul(y，t)dy,x∈(e)Ω，t＞0，u(x，0)=u0(x)， x∈Ω解的存在性和定性性質(zhì).其中參數(shù)p，q

5、，l＞0，Ω是RN(N≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域，v是邊界(e)Ω上的單位外法向量.c(x，t)是定義在(Ω)×[0，∞）上的正連續(xù)有界函數(shù).k（x，y，t）是定義在(e)Ω×(Ω)×[0，∞）上的正連續(xù)有界函數(shù).初值u0(x)∈C1((Ω))，并且u0（x)≥0，≠0滿足相容性條件:當(dāng)x∈(e)Ω時(shí)，有(e)u0/(e)v=∫Ωk（x，y，0）ul0（y）dy.
　　運(yùn)用上下解的方法證明了如下結(jié)果:
　　(i)假設(shè)p+

6、q≤1，l≤1.對(duì)任意非負(fù)初值u0，解是整體存在的.
　　(ii)假設(shè)p+q＜1，l＞1.對(duì)適當(dāng)小的初值u0，解是整體存在的.
　　(iii)假設(shè)p+q＞1，l＞0.對(duì)任意正的初值u0，解在有限時(shí)刻爆破.
　?。╥v）假設(shè)min(p，q)＞1，l＞0.對(duì)適當(dāng)大的初值u0，解在有限時(shí)刻爆破.
　　第三章研究非線性拋物型方程組ut=△u+epv， x∈Ω，t＞0，ut=△v+equ， x∈Ω，t＞0，u(x,t)=v

7、(x,t)=0, x∈(e)Ω,t＞0,u(x，0)=λψ(x），v(x，0)=λψ(x)，x∈Ω解的生存跨度，其中常數(shù)p，q＞0，Ω是RN(N≥1)中具有光滑邊界(e)Ω的有界區(qū)域.λ是正參數(shù)，函數(shù)ψ(x)和ψ(x）是(Ω)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).我們借助于常微分方程的技巧和Kaplan的方法證明了如下結(jié)果:
　　假設(shè)p，q＞0.如果初值ψ，ψ∈C((Ω))滿足如下條件:ψ(x)≥0，ψ(x)≥0，ψ+ψ(≠)0 x∈Ω，ψ(x)=ψ

8、(x)=0，x∈(e)Ω.那么
　　(i)如果qMψ＞pMψ，有l(wèi)imλ→∞T*λeqMψλ/λ=qMψ-pMψ/p.
　?。╥i）如果qMψ＜pMψ，有l(wèi)imλ→∞T*λepMψλ/λ=pMψ-qMψ/q.
　　第四章考慮反應(yīng)擴(kuò)散方程的解的熄滅性質(zhì):ut=△um+ aup∫Ωuq(y,t)dy,x∈Ω,t＞0,u(x，t)=0，x∈(e)Ω，t＞0，u(x，0)=u0(x)， x∈Ω，其中0＜m＜1，p，q＞0.Ω是

9、RN(N≥1)中的有界光滑區(qū)域，初值u0(x)∈L∞(Ω)∩W1,1+m0(Ω)且u0(x)≥0，(≠)0.運(yùn)用Lp范數(shù)分析法和常微分方程的技巧以及上下解的方法證明了下列結(jié)果:
　　(i)假設(shè)p+q＜m.對(duì)任何非負(fù)初值u0，最大解U(x，t)不會(huì)在有限時(shí)刻熄滅.
　　(ii)假設(shè)p+q=m，aμm，q＞λ1·對(duì)任意非負(fù)初值u0，最大解U(x，t)不會(huì)在有限時(shí)刻熄滅，其中aμm，q在后面文中定義.
　　(iii)假設(shè)p+

10、q＞m.
　　（a）當(dāng)N＞2時(shí)，如果初值u0適當(dāng)小，解在有限時(shí)刻熄滅.此外還有，若N-2/N+2＜m＜1，{‖u(·，t)‖1+m≤‖u0‖1+m[1-C1(1-m)t/‖u0‖1-m1+m]1/1-m,0≤t≤T1*,‖u(·，t)‖1+m≡0， T1*≤t≤+∞，若0＜m＜N-2/N，{‖u(·，t)‖N(1-m)/2≤‖u0‖N(1-m)/2[1-C2(1-m)t/‖u0‖1-mN(1-m)/2，0≤t≤T2*,‖u(·，t