一類三次哈密頓系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下I(h)零點(diǎn)個(gè)數(shù)估計(jì).pdf

1、平面Hamilton系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Abel積分的構(gòu)造、解析性及其零點(diǎn)個(gè)數(shù)的研究具有深刻的理論意義及廣泛的應(yīng)用背景.這方面的研究與弱化Hilbert第16問題緊密相關(guān).本文利用常微分方程定性理論和分支理論的方法，對(duì)一類關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，具有中心奇點(diǎn)的三次Hamilton系統(tǒng)（其對(duì)應(yīng)的Hamilton函數(shù)為H（x，y）=Ax2+By2+Cx4+ Ex2y2+ Dy4，其中A，B，C，D，E為常數(shù)，且滿足AB＞0，D≠0，C/A2+D/B2=0

2、.）在一般n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的分支問題進(jìn)行了研究。
　　本文先通過坐標(biāo)變換，將Hamilton函數(shù)轉(zhuǎn)化為H(x，y)=x2+y2-x4+ax2y2+y4，其中a=EB2/A|D|.再對(duì)擾動(dòng)系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的Abel積分的代數(shù)構(gòu)造進(jìn)行了研究，討論了其解析性并對(duì)其零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行了估計(jì).根據(jù)參數(shù)a的取值，分為兩種情況.當(dāng)a≥-2時(shí)，相應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)有一個(gè)周期閉軌族Γ1h={（x，y）|H（x，y）=h，h∈∑1(△)(0，1/4)}.當(dāng)

3、a＜-2時(shí)，相應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)有一個(gè)圍繞中心O的周期閉軌族Γ2h={(x，y)|H(x，y)=h，h∈Σ2(△)（0，-a/a2+4）}，兩個(gè)分別圍繞中心S1(-√2/2，0)，S2（√2/2，0）的周期閉軌族.Γ-h={(x，y)|H(x，y)=h，h∈∑3(△)（-a/a2+4，1/4），x＜0}，Γ+h={（x，y)H（x，y）=h，h∈Σ3，x＞0}。
　　本研究分為五個(gè)部分：第一章介紹了本課題的研究背景、研究進(jìn)展

4、情況以及本文的主要研究結(jié)果。第二章研究了擾動(dòng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Abel積分在h∈Σ1或Σ2上的代數(shù)構(gòu)造.I(h)=α(h)I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23，其中Ii，j（h）=∮Γhxiyjdx，α（h)，β（h），γ（h)，δ（h）都是關(guān)于h的實(shí)多項(xiàng)式，且滿足degα(h)≤[n-1/4](△)p，degβ(h)≤[n-3/4](△)q，degγ(h)≤q，degδ(h)≤p-1.并求出了四個(gè)生成元I01，I03，I21

5、，I23滿足的Picard-Fuchs方程.進(jìn)而推出了I'01，Z'滿足的二階齊次線性微分方程，其中Z=a-2/6(a2+4)I03+a+2/2(a2+4)I21+1/3I23。第三章通過研究I'01，Z'分別滿足的二階齊次線性微分方程，將I'01，Z'擴(kuò)展到復(fù)平面，從而將I（h）解析延拓到復(fù)平面上。I（h）可能不解析的點(diǎn)為h=0，-α/8，-a/a2+4，-1/4，1/4，∞，再對(duì)這六個(gè)點(diǎn)處的解析性進(jìn)行分析，為估計(jì)擾動(dòng)系統(tǒng)在h∈Σ1或

6、∑2上對(duì)應(yīng)Abel積分零點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)做好了鋪墊。第四章利用數(shù)學(xué)歸納法給出了I（k+1）(h)（0≤k≤q+1）的代數(shù)構(gòu)造，當(dāng)k=q+1時(shí)，I(q+2)（h）=αq+2(h)/Gq+1(h)I'01+δq+2(h)/Gq+1(h)Z'，其中G(h)=4/3h（h-1/4）(h+1/4)(h+a/a2+4)，αq+2(h)，δq+2(h)都是關(guān)于h的實(shí)多項(xiàng)式，且滿足degαq+2(h)≤p+3q+3，degδq+2(h)≤p+3q+2.利用

7、Riccati方程及廣義羅爾定理估計(jì)出擾動(dòng)系統(tǒng)在h∈∑1或Σ2上對(duì)應(yīng)Abel積分零點(diǎn)個(gè)數(shù)的上界為σ(a)，其中σ(a)={3p+9q+13，a∈(-∞，-2]，3p+8q+12,a∈(-2,0],3p+9q+13，a∈(0，+∞)。第五章研究了擾動(dòng)系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的Abel積分在h∈Σ3上的代數(shù)構(gòu)造，I(h)=α(h) I01+β(h)I03+γ(h)I21+δ(h)I23+(α(h)I11+β(h)I13+γ(h)I31+δ(h)I33)，