關(guān)于圖的能量和斜能量的若干極值問題.pdf

1、對(duì)一個(gè)簡單無向圖G，它的能量(ε)(G)定義為對(duì)應(yīng)鄰接矩陣的所有特征值的絕對(duì)值之和。圖能量和化學(xué)有著非常密切的關(guān)系，特別是圖的特征值和共軛碳?xì)浠衔镏笑?電子的分子軌道能量之間存在著緊密對(duì)應(yīng)。自1977年Gutman提出圖能量的概念后，就引起了很多理論化學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注。尤其是2000年以后，圖能量更是得到了長足發(fā)展，大量論文發(fā)表在各類數(shù)學(xué)化學(xué)期刊上。
　　除了圖能量，一些其他類型的能量也在數(shù)學(xué)上被提出，其中非常重要的一個(gè)就是有

2、向圖的斜能量，它定義為有向圖斜鄰接矩陣的特征值的模之和。
　　在圖能量和斜能量的研究中，我們遇到的一個(gè)基本問題，就是在給定的圖類中確定哪些圖具有極大或極小能量。本文完全解決了關(guān)于給定最大頂點(diǎn)度的樹的兩個(gè)極大能量問題，對(duì)有向圖的極值問題，也給出了非常好的結(jié)果。
　　第一章是引言，我們首先給出了文中涉及的基本概念和相關(guān)知識(shí)，然后介紹了圖能量和斜能量的相關(guān)背景，最后列出了這篇論文的主要結(jié)果。
　　第二章給出了本文涉及到的一些

3、預(yù)備知識(shí)，包括:特征多項(xiàng)式，Coulson積分公式以及關(guān)于無符號(hào)匹配多項(xiàng)式的主要引理。
　　在接下來的兩章中，我們研究一類非常重要的圖，樹。2009年，李學(xué)良等人證明了在所有n個(gè)頂點(diǎn)并且其中兩個(gè)頂點(diǎn)具有最大度△的樹中，Ta(△，t)或者Tb(△，t)具有極大能量。其中Ta(△，t)（簡寫為Ta）表示在路Pt的兩個(gè)端點(diǎn)處各連接△-1個(gè)P2后得到的樹，Tb(△，t)（簡寫為Tb）表示在路Pt+2的一個(gè)端點(diǎn)處連接△-1個(gè)P2，在這個(gè)端點(diǎn)

4、的鄰點(diǎn)處連接△-2個(gè)P2后得到的樹，此處△≥3，t=n+4-4△≥3。但是他們不能確定到底是Ta還是Tb更大一些，因?yàn)橹俺Ｓ玫臄M序比較方法在這里失效了。
　　在第三章中，我們創(chuàng)造性地將無符號(hào)匹配多項(xiàng)式引入圖能量的Coulson積分公式，結(jié)合分析和代數(shù)方法，成功地解決了這一問題。我們證明對(duì)所有△≥7，t≥3的情況，極大能量樹是Tb，對(duì)△=3，t≥3的情況，極大能量樹是Ta。此外，如果△=4，除了t=4時(shí)極大能量樹為Tb，其他情況下

5、都為Ta。對(duì)△=5，在t為3到89之間的奇數(shù)時(shí)，極大能量樹為Ta，其他情況下為Tb?！?6時(shí)，只有t=3，5，7這三種情況下極大能量樹為Ta，其余情況均為Tb。很明顯可以看出，對(duì)大部分情況，Tb是我們要找的極大能量樹，△=5是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，△=3，4是特殊情況。這也就意味著，對(duì)所有的化學(xué)樹（最大度至多為4的樹），除了Ta(4，4)之外，Ta都是極大能量樹。
　　在第四章中，我們類似地定義具有一個(gè)最大度頂點(diǎn)一個(gè)次最大度頂點(diǎn)的樹。令Tf

6、(d1，d2，t)（簡寫為Tf）表示在路Pt的一個(gè)端點(diǎn)處連接d1-1個(gè)P2，另一個(gè)端點(diǎn)處連接d2-1個(gè)P2后得到的樹，Tg(d1，d2，t)（簡寫為Tg）表示在路Pt+2的一個(gè)端點(diǎn)處連接d1-1個(gè)P2，在這個(gè)端點(diǎn)的鄰點(diǎn)處連接d2-1個(gè)P2后得到的樹，其中d1＞d2≥3，t≥3。姚祥妹在2010年證明了對(duì)所有n個(gè)頂點(diǎn)，其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別具有最大度d1和次最大度d2的樹，Tf或者Tg具有極大能量。但是確定到底是Tf還是Tg更大一些仍是一個(gè)難題

7、。
　　上述問題涉及更多變量，因此其證明更加困難。我們巧妙地利用兩個(gè)變量的差簡化計(jì)算，配合使用分析和代數(shù)方法，完全解決了這個(gè)問題。我們證明了對(duì)d1≥7，d2≥3或者d1=6，d2=3的情況，Tg是極大能量樹。如果d1=4且d2=3，當(dāng)t=4時(shí)Tg具有極大能量，其余情況Tf具有極大能量。對(duì)于剩下的情況，當(dāng)(i) d1=5，d2=4，t是3到45之間的奇數(shù);(ii) d1=5，d2=3，t是3到29之間的奇數(shù);(iii) d1=6，d

8、2=5，t=3，5，7;(iv) d1=6，d2=4，t=5的時(shí)候，極大能量樹為Tf，其余情況為Tg。
　　最后一章給出了關(guān)于有向圖的斜能量的一些研究結(jié)果。令(→6)n表示具有n個(gè)頂點(diǎn)，不包含偶圈的有向圖，(→6)n，m表示(→6)n中邊數(shù)為m的圖類，我們確定了(→6)n和(→6)n，m(n-1≤m≤3/2(n-1))這兩類圖中的極小斜能量有向圖，并且得到了(→6)n，n以及(→6)n,n+1（n為偶數(shù)）中的極大斜能量有向圖。